Seja
o subespaço do
gerado pelos vetores
Encontre a projeção ortogonal de
em
.
Passo 1
O enunciado pede a projeção ortogonal de
no subespaço
gerado por
O conteúdo aqui é projeção em subespaço usando o produto interno canônico, levando em conta dependências lineares no gerador.
Passo 2
Primeiro verificamos que
ou seja,
e
são ortogonais. Em seguida, notamos que
logo
é combinação linear de
e
Passo 3
Como
é um sistema ortogonal, a projeção ortogonal de
em
é
Calculamos os produtos internos:
Passo 4
Logo os coeficientes são
Portanto
Fazendo a conta componente a componente:
Resposta
A projeção ortogonal de
em
é