Seja W o subespaço do R^4 gerado pelos vetores
v1=(1,1,1,1), v2=(1,-1,2,-2), v3=(-1,-5,1,-7)
Encontre a projeção ortogonal de v=(1,2,-3,4) em W.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de ,v=(1,2,-3,4) no subespaço WsubsetR^4 gerado por
v1=(1,1,1,1), v2=(1,-1,2,-2), v3=(-1,-5,1,-7)
O conteúdo aqui é projeção em subespaço usando o produto interno canônico, levando em conta dependências lineares no gerador.

Passo 2

Primeiro verificamos que
lang<= v1,v2rang<= =1cdot1+1cdot(-1)+1cdot2+1cdot(-2)=0,
ou seja, v1 e v2 são ortogonais. Em seguida, notamos que
v3=-3,v1+2,v2,
logo v3 é combinação linear de v1,v2 e
W=spanv1,v2,v3 =spanv1,v2

Passo 3

Como v1,v2 é um sistema ortogonal, a projeção ortogonal de v em W é
projW(v) =lang<= v1,vrang<=lang<= v1,v1rang<=,v1 +lang<= v2,vrang<=lang<= v2,v2rang<=,v2
Calculamos os produtos internos:
lang<= v1,vrang<==1+2-3+4=4, lang<= v1,v1rang<==4,
lang<= v2,vrang<= =1cdot1+(-1)cdot2+2cdot(-3)+(-2)cdot4 =1-2-6-8=-15, lang<= v2,v2rang<==10

Passo 4

Logo os coeficientes são
lang<= v1,vrang<=lang<= v1,v1rang<= =44=1, lang<= v2,vrang<=lang<= v2,v2rang<= =-1510=-tfrac32
Portanto
projW(v) =1cdot v1-tfrac32,v2 =(1,1,1,1)-tfrac32(1,-1,2,-2)
Fazendo a conta componente a componente:
projW(v) =l(1-tfrac32,;1+tfrac32,;1-3,;1+3r) =l(-tfrac12,;tfrac52,;-2,;4r)

Resposta

A projeção ortogonal de v em W é
projW(v) =l(-tfrac12,;tfrac52,;-2,;4r)

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