Determinar três ou mais vetores unitários ortogonais a v=(2,-1,1).

Passo 1

O enunciado pede vetores unitários \emph{ortogonais} a v = (2, -1, 1) em R^3. Para isso vamos usar a condição de ortogonalidade dada pelo produto escalar e depois normalizar cada vetor para que tenha norma 1.

Passo 2

Seja vec u=(x,y,z) um vetor ortogonal a vec v. Então
vec vcdot vec u = 2x - y + z = 0
Isso define o plano ortogonal a vec v. Podemos parametrizar as soluções escolhendo dois parâmetros livres, por exemplo s e t:
x = s, y = t, z = -2s + t

Passo 3

Vamos extrair três vetores particulares desse plano escolhendo pares (s,t) simples:
vec a = (s,t,z)|(s,t)=(1,0) = (1,0,-2),
vec b = (s,t,z)|(s,t)=(1,1) = (1,1,-1),
vec c = (s,t,z)|(s,t)=(0,1) = (0,1,1)
Cada um deles satisfaz 2x-y+z=0.

Passo 4

Agora calculamos a norma de cada e normalizamos:
|vec a| = raiz1^2+0^2+(-2)^2=raiz5, |vec b| = raiz1^2+1^2+(-1)^2=raiz3, |vec c| = raiz0^2+1^2+1^2=raiz2
Logo os vetores unitários ortogonais a vec v são
vec u1 = 1raiz5,(1,0,-2), vec u2 = 1raiz3,(1,1,-1), vec u3 = 1raiz2,(0,1,1)

Resposta

vec u1 = 1raiz5,(1,0,-2), vec u2 = 1raiz3,(1,1,-1), vec u3 = 1raiz2,(0,1,1)

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