Sejam x=(x1, x2, x3) e y=(y1, y2, y3) elementos quaisquer do R^3. Considere o produto interno em R^3 dado por
<x, y>=x1 y1+2 x2 y2+x3 y3
Dados os vetores u=(1,1,1) e v=(1,-2,0), determine |u|,|v| e d(u, v). Dê a projeção ortogonal e u na direcão do vetor v.

Passo 1

O enunciado define em R^3 o produto interno
lang<= x,yrang<= = x1y1 + 2,x2y2 + x3y3,
e dá os vetores
u = (1,1,1), v = (1,-2,0)
Queremos calcular as normas |u|, |v|, a distância d(u,v) e a projeção ortogonal de u sobre v. Para isso, vamos usar as definições
|w| = raizlang<= w,wrang<=,
d(u,v)=|u-v| e
projv(u)=lang<= u,vrang<=lang<= v,vrang<=,v.

Passo 2

Calcular |u|. Primeiro o produto interno
lang<= u,urang<= = 1^2 + 2cdot1^2 + 1^2 = 4
Logo
|u| = raizlang<= u,urang<= = raiz4 = 2

Passo 3

Calcular |v|. Primeiro o produto interno
lang<= v,vrang<= = 1^2 + 2cdot(-2)^2 + 0^2 = 1 + 8 = 9
Logo
|v| = raizlang<= v,vrang<= = raiz9 = 3

Passo 4

Calcular a distância d(u,v)=|u-v|. Temos
u-v = (1-1,;1-(-2),;1-0) = (0,3,1)
Então
|u-v|^2 = 0^2 + 2cdot3^2 + 1^2 = 19,
e
d(u,v) = |u-v| = raiz19

Passo 5

Calcular a projeção de u em v:
projv(u) = lang<= u,vrang<=lang<= v,vrang<=,v
Primeiro
lang<= u,vrang<= = 1cdot1 + 2cdot1cdot(-2) + 1cdot0 = 1 -4 +0 = -3
Como lang<= v,vrang<==9,
projv(u) = -39,(1,-2,0) = l(-tfrac13,;tfrac23,;0r)

Resposta

|u|=2
|v|=3
d(u,v)=raiz19
projv(u)=l(-tfrac13,tfrac23,0r)

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