Ache a medida em radianos do ângulo entre a reta e o plano dados: e x+y-z-1=0
Passo 1
O exercício pede a medida em radianos do ângulo entre a reta e o plano. O conteúdo é Geometria Analítica, mais especificamente o ângulo entre reta e plano. Para resolver, precisamos do vetor diretor da reta e do vetor normal ao plano e usar a fórmula que relaciona o ângulo entre a reta e o plano com o ângulo entre a reta e a normal do plano.
Passo 2
A reta está dada pelas equações paramétricas
x=1+lambda y=lambda z=-2lambda
Logo, o vetor diretor é
v = (1,1,-2)
Passo 3
O plano é dado por
x + y - z - 1 = 0
Comparando com a forma geral ax + by + cz + d = 0, obtemos o vetor normal
n = (1,1,-1)
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar de v e n e as normas de cada um:
v cdot n = 1cdot1 + 1cdot1 + (-2)cdot(-1) = 4,
|v| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz6,
|n| = raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz3
Então
|vcdot n||v|,|n| = 4raiz6raiz3 = 2raiz23
Passo 5
O ângulo phi entre a reta e o plano é o complemento do ângulo theta entre o vetor diretor e o vetor normal, isto é, phi = tfracpi2 - theta. Como costheta = tfrac|vcdot n||v|,|n|, temos também