Aplique o algorítmo da divisão para os polinômios f(X), g(X) abaixo:
f(X)=X^5+3 X^2+2 e g(X)=X^3-1 in Z7[X]

Passo 1

A questão pede para dividir o polinômio f(X)=X^5+3X^2+2 por g(X)=X^3-1 no anel Z7[X]. O conteúdo é o algoritmo da divisão de polinômios sobre um corpo finito, e vamos precisar identificar o quociente e o resto cujos graus satisfazem deg(r).

Passo 2

Vamos reescrever os coeficientes em Z7: note que -1=6. Assim: f(X)=X^5+3X^2+2 e g(X)=X^3+6.

Passo 3

O primeiro termo do quociente vem de dividir o termo líder de f pelo termo líder de g:
X^5X^3=X^2

Passo 4

Multiplicamos g(X) por X^2 e subtraímos de f(X):
g(X)cdot X^2=(X^3+6)X^2=X^5+6X^2,

Passo 5

[f(X)-(g(X)\cdot X2)=(X5+\overline{3}X2+\overline{2})-(X5+\overline{6}X^2)= (\overline{3}-\overline{6})X2+\overline{2}=\overline{4}X2+\overline{2}."]

Passo 6

O resto 4X^2+2 tem grau 2, que é menor que deg(g)=3, então a divisão termina aqui.

Resposta

Quociente: q(X)=X^2, Resto: r(X)=4X^2+2.

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