Mostre que o plano bissetor de um ângulo diedral cujas faces não são coplanares é o conjunto dos pontos equidistantes dos planos que contêm as respectivas faces do ângulo diedral pertencentes à região convexa determinada por ele.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num diedro formado por dois planos não coplanares pi1 e pi2, o plano bissetor interno (aquele que intercepta o diedro convexamente) coincide com o conjunto dos pontos cuja distância a pi1 é igual à distância a pi2. O conteúdo envolve definição de diedro, plano bissetor e fórmula de distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos adotar um ponto O qualquer na reta de interseção L=pi1cappi2 e escolher vetores normais unitários n1 a pi1 e n2 a pi2 de modo que ambos apontem para o interior do diedro convexo. Assim, as equações vetoriais dos planos são
n1cdot(x-o)=0, n2cdot(x-o)=0,
onde o é o vetor posição de O.

Passo 3

Para definir o plano bissetor interno, usamos a ideia de que ele faz ângulos iguais com pi1 e pi2. Em termos de vetores, exigir ang<=(beta,pi1)=ang<=(beta,pi2) leva à condição
n1cdot(x-o)=n2cdot(x-o)
Esse é o lugar geométrico dos pontos P(x) cujas projeções em n1 e n2 coincidem.

Passo 4

Agora lembramos que, como n1 e n2 são unitários, as quantidades
n1cdot(p-o), n2cdot(p-o)
representam, com sinal, as distâncias orientadas de P a pi1 e a pi2. Dentro da região convexa escolhida, esses sinais são ambos positivos, de modo que a igualdade acima é exatamente
d(P,pi1)=d(P,pi2)

Passo 5

Assim mostramos que todo ponto do plano bissetor satisfaz d(P,pi1)=d(P,pi2), e recíproco: qualquer ponto com distâncias iguais a pi1 e pi2 cai na equação do plano bissetor interno. Portanto, o plano bissetor interno é o conjunto de pontos equidistantes dos dois planos danificadores do diedro.

Resposta

O plano bissetor interno do diedro é exatamente o conjunto dos pontos que têm distância igual a pi1 e a pi2, pertencentes à região convexa determinada pelo diedro.

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