Mostre que o plano bissetor de um ângulo diedral cujas faces não são coplanares é o conjunto dos pontos equidistantes dos planos que contêm as respectivas faces do ângulo diedral pertencentes à região convexa determinada por ele.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num diedro formado por dois planos não coplanares
e
, o plano bissetor interno (aquele que intercepta o diedro convexamente) coincide com o conjunto dos pontos cuja distância a
é igual à distância a
. O conteúdo envolve definição de diedro, plano bissetor e fórmula de distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos adotar um ponto
qualquer na reta de interseção
e escolher vetores normais unitários
a
e
a
de modo que ambos apontem para o interior do diedro convexo. Assim, as equações vetoriais dos planos são
onde
é o vetor posição de
.
Passo 3
Para definir o plano bissetor interno, usamos a ideia de que ele faz ângulos iguais com
e
. Em termos de vetores, exigir
leva à condição
Esse é o lugar geométrico dos pontos
cujas projeções em
e
coincidem.
Passo 4
Agora lembramos que, como
e
são unitários, as quantidades
representam, com sinal, as distâncias orientadas de
a
e a
. Dentro da região convexa escolhida, esses sinais são ambos positivos, de modo que a igualdade acima é exatamente
Passo 5
Assim mostramos que todo ponto do plano bissetor satisfaz
, e recíproco: qualquer ponto com distâncias iguais a
e
cai na equação do plano bissetor interno. Portanto, o plano bissetor interno é o conjunto de pontos equidistantes dos dois planos danificadores do diedro.
Resposta
O plano bissetor interno do diedro é exatamente o conjunto dos pontos que têm distância igual a
e a
, pertencentes à região convexa determinada pelo diedro.