Mostre que o ângulo entre dois planos é igual ao ângulo que duas retas, respectivamente, perpendiculares a eles, fazem.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o ângulo entre dois planos alpha e beta coincide com o ângulo entre duas retas l1 e l2, onde l1 é perpendicular a alpha e l2 é perpendicular a beta. O conteúdo envolve geometria espacial: definição de ângulo diedro entre planos e ângulo entre retas.

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição de ângulo diedro entre alpha e beta: é o ângulo entre duas retas r1 e r2 traçadas em alpha e beta, respectivamente, ambas perpendiculares à reta de intersecção alphacapbeta. Em seguida, escolhemos duas retas quaisquer l1perpalpha e l2perpbeta e consideramos o plano gamma que contém l1 e l2. Por construção, gamma é perpendicular à reta alphacapbeta.

Passo 3

O plano gamma intercepta alpha em uma reta r1 e intercepta beta em uma reta r2. Essas retas r1 e r2 são perpendiculares à intersecção alphacapbeta e, portanto, definem o ângulo diedro entre alpha e beta. Como l1perpalpha, temos l1perp r1, e como l2perpbeta, temos l2perp r2, todas elas vivendo no mesmo plano gamma.

Passo 4

No plano gamma, existe uma propriedade de ângulo entre retas: o ângulo entre duas retas r1 e r2 é igual ao ângulo entre quaisquer duas retas perpendiculares a elas, respectivamente. Logo, o ângulo entre r1 e r2 (ou seja, o ângulo diedro entre alpha e beta) coincide com o ângulo entre l1 e l2.

Resposta

O ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre duas retas traçadas perpendicularmente a eles, respectivamente.

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