Mostre que o ângulo entre dois planos é igual ao ângulo que duas retas, respectivamente, perpendiculares a eles, fazem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o ângulo entre dois planos
e
coincide com o ângulo entre duas retas
e
, onde
é perpendicular a
e
é perpendicular a
. O conteúdo envolve geometria espacial: definição de ângulo diedro entre planos e ângulo entre retas.
Passo 2
Primeiro, lembramos a definição de ângulo diedro entre
e
: é o ângulo entre duas retas
e
traçadas em
e
, respectivamente, ambas perpendiculares à reta de intersecção
. Em seguida, escolhemos duas retas quaisquer
e
e consideramos o plano
que contém
e
. Por construção,
é perpendicular à reta
.
Passo 3
O plano
intercepta
em uma reta
e intercepta
em uma reta
. Essas retas
e
são perpendiculares à intersecção
e, portanto, definem o ângulo diedro entre
e
. Como
, temos
, e como
, temos
, todas elas vivendo no mesmo plano
.
Passo 4
No plano
, existe uma propriedade de ângulo entre retas: o ângulo entre duas retas
e
é igual ao ângulo entre quaisquer duas retas perpendiculares a elas, respectivamente. Logo, o ângulo entre
e
(ou seja, o ângulo diedro entre
e
) coincide com o ângulo entre
e
.
Resposta
O ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre duas retas traçadas perpendicularmente a eles, respectivamente.