(a) Ache o menor inteiro positivo n tal que o número 4 n^2+1 seja divisível por 65 .
(b) Mostre que existem infinitos múltiplos de 65 da forma 4 n^2+1.
(c) Mostre que se um dado número divide um número da forma 4 n^2+1, ele dividirá uma infinidade desses números.
(d) Para este último resultado, existe algo de especial nos números da forma 4 n^2+1 ? Teste o seu resultado para números da forma a n^2+b n+c, onde a, b, c in Z, com a e b não simultaneamente nulos.
(e) Mostre que existem infinitos múltiplos de 7 da forma 8 n^2+3 n+4.

Passo 1

O enunciado trata de congruências e divisibilidade de expressões quadráticas, em particular da forma ,4n^2+1 em relação a 65, e depois generaliza para outros polinômios. Vamos usar teste direto e propriedades de polinômios modulares para mostrar que, uma vez que um número divide um valor da forma f(n), ele também divide infinitos outros valores f(n).

Passo 2

Para (a), basta testar n=1,2,3,4,dots até achar o primeiro n>0 com
4n^2+1equiv0pmod65
Calculamos:
n=1:;4cdot1^2+1=5notequiv0pmod65.
n=2:;4cdot4+1=17notequiv0pmod65.
n=3:;4cdot9+1=37notequiv0pmod65.
n=4:;4cdot16+1=65equiv0pmod65.
Logo o menor inteiro positivo é n=4.

Passo 3

Para (b), tendo um n0=4 tal que 65mid(4n0^2+1), considere
n = n0 + 65k
Então
4n^2+1 = 4(n0+65k)^2+1 = l(4n0^2+1r) + 8n0cdot65k +4,(65k)^2,
onde os dois últimos termos são múltiplos de 65. Assim
4n^2+1equiv4n0^2+1equiv0pmod65,
e há infinitos tais n.

Passo 4

Para (c), seja d um divisor de 4n0^2+1. Tome
n = n0 + d,k
Então
4n^2+1 = 4(n0+dk)^2+1 = l(4n0^2+1r) + 8n0,d,k +4,d^2k^2,
em que todos os termos além de 4n0^2+1 são divisíveis por d. Logo
4n^2+1equiv4n0^2+1equiv0pmod d
para todo k, provando que d divide infinitos valores de 4n^2+1.

Passo 5

Para (d), notamos que o mesmo argumento vale para qualquer polinômio
f(n)=an^2+bn+c, a,b,cinZ
Se dmid f(n0) então, para n=n0+dk,
f(n)=f(n0)+k,d,(2an0+b)+a,d^2k^2equiv f(n0)equiv0pmod d
Não há nada de especial em 4n^2+1: a propriedade é geral para todo polinômio de coeficientes inteiros.

Passo 6

Para (e), resolvemos
8n^2+3n+4equiv0pmod7
Como 8equiv1pmod7, isso é
n^2+3n+4equiv0pmod7
Testando n=0,1,2,dots vemos que em n=2
2^2+3cdot2+4=4+6+4=14equiv0pmod7
Logo n0=2. Então n=2+7k implica
8n^2+3n+4equiv8cdot2^2+3cdot2+4equiv0pmod7,
e há infinitos n.

Resposta

(a) 4
(b) Há infinitos n=4+65k, kinN.
(c) Se dmid4n0^2+1 então dmid4(n0+dk)^2+1 para todo k, logo existem infinitos.
(d) Não há nada de especial: vale para qualquer polinômio an^2+bn+c com coeficientes inteiros.
(e) Há infinitos n=2+7k, kinN, tais que 8n^2+3n+4 é múltiplo de 7.

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