(a) Ache o menor inteiro positivo
tal que o número
seja divisível por 65 .
(b) Mostre que existem infinitos múltiplos de 65 da forma
.
(c) Mostre que se um dado número divide um número da forma
, ele dividirá uma infinidade desses números.
(d) Para este último resultado, existe algo de especial nos números da forma
? Teste o seu resultado para números da forma
, onde
e
não simultaneamente nulos.
(e) Mostre que existem infinitos múltiplos de 7 da forma
.
(b) Mostre que existem infinitos múltiplos de 65 da forma
(c) Mostre que se um dado número divide um número da forma
(d) Para este último resultado, existe algo de especial nos números da forma
(e) Mostre que existem infinitos múltiplos de 7 da forma
Passo 1
O enunciado trata de congruências e divisibilidade de expressões quadráticas, em particular da forma
em relação a 65, e depois generaliza para outros polinômios. Vamos usar teste direto e propriedades de polinômios modulares para mostrar que, uma vez que um número divide um valor da forma
, ele também divide infinitos outros valores
.
Passo 2
Para (a), basta testar
até achar o primeiro
com
Calculamos:
.
.
.
.
Logo o menor inteiro positivo é .
Logo o menor inteiro positivo é
Passo 3
Para (b), tendo um
tal que
, considere
Então
onde os dois últimos termos são múltiplos de 65. Assim
e há infinitos tais
.
Passo 4
Para (c), seja
um divisor de
. Tome
Então
em que todos os termos além de
são divisíveis por
. Logo
para todo
, provando que
divide infinitos valores de
.
Passo 5
Para (d), notamos que o mesmo argumento vale para qualquer polinômio
Se
então, para
,
Não há nada de especial em
: a propriedade é geral para todo polinômio de coeficientes inteiros.
Passo 6
Para (e), resolvemos
Como
, isso é
Testando
vemos que em
dá
Logo
. Então
implica
e há infinitos
.
Resposta
(a)
(b) Há infinitos ,
.
(c) Se então
para todo
, logo existem infinitos.
(d) Não há nada de especial: vale para qualquer polinômio com coeficientes inteiros.
(e) Há infinitos ,
, tais que
é múltiplo de 7.
(b) Há infinitos
(c) Se
(d) Não há nada de especial: vale para qualquer polinômio
(e) Há infinitos