Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
[2]
integral 3^x cos (3^x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 3^xcosl(3^xr),dx
usando o método de substituição. Esse método consiste em reconhecer uma “parte interna” da função (a que está dentro de outra) e trocá-la por uma nova variável, transformando a integral numa forma mais simples de resolver.

Passo 2

Identificamos como parte interna u = 3^x. Agora precisamos relacionar du com dx. Como sabemos que
ddxl(3^xr) = ln(3),3^x,
segue que
du = ln(3),3^x,dx

Passo 3

Isolamos dx em termos de du:
dx = duln(3),3^x
Substituindo u = 3^x e dx na integral original, temos
integral 3^xcosl(3^xr),dx = integral 3^xcos(u),duln(3),3^x = 1ln(3)integral cos(u),du

Passo 4

A integral de cos(u) é sin(u). Logo,
1ln(3)integral cos(u),du = 1ln(3),sin(u) + C

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u = 3^x:
integral 3^xcosl(3^xr),dx = sinl(3^xr)ln(3) + C

Resposta

boxedsinl(3^xr)ln(3) + C

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