Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
sum0^infty raizn cdot x^n13.5 ldots (2 n+1)

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumn=0^inftyraizn,x^n1cdot 3cdot 5cdots (2n+1)
e pede o intervalo de convergência. Como é uma série de potências, vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência.

Passo 2

Definimos o termo geral
an=raizn,x^n1cdot 3cdot 5cdots (2n+1)
Para simplificar a escrita, note que
1cdot 3cdot 5cdots (2n+1) =(2n+1)!2^n,n!
Então podemos reescrever
an =raizn,x^n,2^n,n!(2n+1)!

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, calculando
|an+1an| =| raizn+1,x^,n+1,2^,n+1,(n+1)!/(2n+3)! raizn,x^n,2^n,n!/(2n+1)! |
Isso dá, passo a passo,
an+1an =raizn+1raizn;x;2,(n+1)(2n+2)(2n+3) =raizn+1n;x2n+3

Passo 4

Analisamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty|an+1an| =limntoinftyraizn+1n;|x|2n+3 =|x|infty=0
Como esse limite é 0<1 para todo xinR, o raio de convergência é infinito.

Resposta

O intervalo de convergência é (-infty,infty).

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