Seja x in R. Determine o conjunto solução para as seguintes inequações logarítmicas
log x(2 x-1)>2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação logarítmica
logx(2x-1)>2
com xinR. Vamos usar o fato de que o logaritmo exige:
1. Argumento positivo: 2x-1>0.
2. Base positiva e diferente de 1: x>0 e xneq1.

Passo 2

Impondo as condições do domínio:
2x-1>0implies x>tfrac12,
e também x>0 e xneq1.
Logo, o domínio reduz-se a
x>tfrac12, xneq1

Passo 3

Dividimos em dois casos segundo o valor da base:
Caso A: x>1.
Aqui a função tmapstologx(t) é crescente. Assim
logx(2x-1)>2 Long<=ftrightarrow 2x-1>x^2
Levando tudo para um lado:
x^2-2x+1<0 Long<=ftrightarrow (x-1)^2<0
Mas (x-1)^2>=0 para todo x, e nunca é estritamente negativo.
Logo, não há solução em x>1.

Passo 4

Caso B: tfrac12<x<1.
Aqui a base x está em (0,1), então logx(t) é decrescente. A inequação inverte-se:
logx(2x-1)>2 Long<=ftrightarrow 2x-1<x^2
Isto é,
x^2-2x+1>0 Long<=ftrightarrow (x-1)^2>0
A desigualdade (x-1)^2>0 vale para todo xneq1. No nosso caso, em tfrac12<x<1 sempre temos xneq1, logo toda essa faixa satisfaz a inequação.

Resposta

O conjunto-solução é
boxedl(tfrac12,,1r)

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