Exercício 1.5. Obter as raizes reais da equação bi-quadrada x^4-14 x^2+45=0. Sugestão; faça x^2=u.
A seguir dê o domínio da função polinomial p(x)=raizx^4-14 x^2+45.

Passo 1

O enunciado pede as raízes reais da equação bi-quadrada x^4-14x^2+45=0 e, em seguida, o domínio da função p(x)=raizx^4-14x^2+45. O conteúdo é resolução de equação bi-quadrada e análise de domínio via condição de radicando não-negativo.

Passo 2

Para resolver a bi-quadrada, fazemos a substituição u=x^2. A equação fica
u^2-14u+45=0

Passo 3

Calculamos o discriminante: De<a=(-14)^2-4cdot1cdot45=196-180=16. Assim
u=14pmraiz162=14pm42, ou seja u1=5 e u2=9.

Passo 4

Voltando a x, temos x^2=5 ou x^2=9. Logo as raízes reais são
x=pmraiz5, x=pm3

Passo 5

Para achar o domínio de p(x), exigimos
x^4-14x^2+45>=0
Observamos que
x^4-14x^2+45=(x^2-5)(x^2-9)
precisa ser não-negativo. Fazendo estudo de sinais em função de x^2:
  • Se x^2<=5, o produto (x^2-5)(x^2-9) é >=0.
  • Se 5<x^2<9, o produto é <0.
  • Se x^2>=9, o produto é >=0.

Passo 6

Portanto o domínio é
xinRmid x^2<=5 ou x^2>=9,
o que equivale a
(-infty,-3]cup[-raiz5,raiz5]cup[3,infty)

Resposta

Raízes reais: x=pmraiz5,pm3.\nDomínio de p(x): (-infty,-3]cup[-raiz5,raiz5]cup[3,infty).

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