Ache a menor e a maior distância da origem a um ponto do elipsóide
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a menor e a maior distância da origem a um ponto no elipsóide
. Para isso, vamos trabalhar com geometria analítica e otimização, utilizando o conceito de distância no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular a distância de um ponto
até a origem
. A fórmula da distância é:
Queremos encontrar os valores mínimo e máximo dessa distância para pontos que estão no elipsóide dado.
Passo 3
Para encontrar esses valores extremos, vamos otimizar a função distância
sob a restrição de que
está no elipsóide
. Podemos simplificar o problema trabalhando com
em vez de
, já que a função quadrática preserva os extremos e facilita os cálculos:
Passo 4
Agora, queremos minimizar e maximizar
sujeito à restrição
. Para resolver isso, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.
Passo 5
Definimos a função Lagrangiana:
Onde
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
,
,
e
, e igualamos a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 7
Analisando as equações:
-
De
: -
ou
-
-
De
: -
ou
-
-
De
: -
ou
-
Vamos explorar as diferentes combinações dessas soluções.
Passo 8
Caso 1:
Mas, substituindo na restrição
, temos
, o que não é possível. Então, descartamos este caso.
Caso 2:
, então
Substituindo
nas outras equações:
- De
- De
Então, temos
,
,
. Substituindo na restrição:
Caso 3:
, então
Substituindo
nas outras equações:
- De
- De
Então, temos
,
,
. Substituindo na restrição:
Caso 4:
, então
Substituindo
nas outras equações:
- De
- De
Então, temos
,
,
. Substituindo na restrição:
Passo 9
Agora, calculamos a distância
para cada ponto encontrado:
- Para
, , :
- Para
, , :
- Para
, , :
Resposta
A menor distância da origem a um ponto do elipsóide é
unidades, e a maior distância é
unidades.