Ache a menor e a maior distância da origem a um ponto do elipsóide 9 dotx^2+4 y^2+z^2=36.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a menor e a maior distância da origem a um ponto no elipsóide 9x^2 + 4y^2 + z^2 = 36. Para isso, vamos trabalhar com geometria analítica e otimização, utilizando o conceito de distância no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a distância de um ponto (x, y, z) até a origem (0, 0, 0). A fórmula da distância é:
d = raizx^2 + y^2 + z^2
Queremos encontrar os valores mínimo e máximo dessa distância para pontos que estão no elipsóide dado.

Passo 3

Para encontrar esses valores extremos, vamos otimizar a função distância d sob a restrição de que (x, y, z) está no elipsóide 9x^2 + 4y^2 + z^2 = 36. Podemos simplificar o problema trabalhando com d^2 em vez de d, já que a função quadrática preserva os extremos e facilita os cálculos:
d^2 = x^2 + y^2 + z^2

Passo 4

Agora, queremos minimizar e maximizar d^2 sujeito à restrição 9x^2 + 4y^2 + z^2 = 36. Para resolver isso, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.

Passo 5

Definimos a função Lagrangiana:
L(x, y, z, lambda) = x^2 + y^2 + z^2 - lambda (9x^2 + 4y^2 + z^2 - 36)
Onde lambda é o multiplicador de Lagrange.

Passo 6

Agora, derivamos L em relação a x, y, z e lambda, e igualamos a zero para encontrar os pontos críticos:
partial Lpartial x = 2x - lambda (18x) = 0 Rightarrow x(1 - 9lambda) = 0
partial Lpartial y = 2y - lambda (8y) = 0 Rightarrow y(1 - 4lambda) = 0
partial Lpartial z = 2z - lambda (2z) = 0 Rightarrow z(1 - lambda) = 0
partial Lpartial lambda = 9x^2 + 4y^2 + z^2 - 36 = 0

Passo 7

Analisando as equações:
  1. De x(1 - 9lambda) = 0:
    • x = 0 ou lambda = 19
  2. De y(1 - 4lambda) = 0:
    • y = 0 ou lambda = 14
  3. De z(1 - lambda) = 0:
    • z = 0 ou lambda = 1
Vamos explorar as diferentes combinações dessas soluções.

Passo 8

Caso 1: x = y = z = 0
Mas, substituindo na restrição 9x^2 + 4y^2 + z^2 = 36, temos 0 = 36, o que não é possível. Então, descartamos este caso.
Caso 2: x neq 0, então lambda = 19
Substituindo lambda = 19 nas outras equações:
  • De y(1 - 4lambda) = y(1 - 49) = y(59) = 0 Rightarrow y = 0
  • De z(1 - lambda) = z(89) = 0 Rightarrow z = 0
Então, temos x neq 0, y = 0, z = 0. Substituindo na restrição:
9x^2 = 36 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2
Caso 3: y neq 0, então lambda = 14
Substituindo lambda = 14 nas outras equações:
  • De x(1 - 9lambda) = x(1 - 94) = x(-54) = 0 Rightarrow x = 0
  • De z(1 - lambda) = z(34) = 0 Rightarrow z = 0
Então, temos x = 0, y neq 0, z = 0. Substituindo na restrição:
4y^2 = 36 Rightarrow y^2 = 9 Rightarrow y = pm 3
Caso 4: z neq 0, então lambda = 1
Substituindo lambda = 1 nas outras equações:
  • De x(1 - 9lambda) = x(1 - 9) = x(-8) = 0 Rightarrow x = 0
  • De y(1 - 4lambda) = y(1 - 4) = y(-3) = 0 Rightarrow y = 0
Então, temos x = 0, y = 0, z neq 0. Substituindo na restrição:
z^2 = 36 Rightarrow z = pm 6

Passo 9

Agora, calculamos a distância d para cada ponto encontrado:
  • Para x = pm 2, y = 0, z = 0:
d = raiz(2)^2 + 0^2 + 0^2 = 2
  • Para x = 0, y = pm 3, z = 0:
d = raiz0^2 + (3)^2 + 0^2 = 3
  • Para x = 0, y = 0, z = pm 6:
d = raiz0^2 + 0^2 + (6)^2 = 6

Resposta

A menor distância da origem a um ponto do elipsóide é 2 unidades, e a maior distância é 6 unidades.

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