Se f(x, y, z)=2 x^2+3 y^2+z^2, use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o ponto do plano x+y+z=5 no qual f(x, y, z) é mínimo.

Passo 1

O enunciado pede encontrar o ponto do plano x+y+z=5 que minimiza a função
f(x,y,z)=2x^2+3y^2+z^2
Este é um problema de otimização com restrição; usaremos o método dos multiplicadores de Lagrange, montando a condição nabla f = lambdanabla g com
g(x,y,z)=x+y+z-5

Passo 2

Calculamos os gradientes:
nabla f = (4x,,6y,,2z),
nabla g = (1,,1,,1)
A condição nabla f = lambdanabla g gera as equações
4x = lambda,
6y = lambda,
2z = lambda,
juntamente com a restrição
x + y + z = 5

Passo 3

Das três primeiras equações temos
x = lambda4, y = lambda6, z = lambda2
Substituindo na restrição,
lambda4 + lambda6 + lambda2 = 5
3lambda + 2lambda + 6lambda12 = 5 Longrightarrow 11lambda12 = 5 Longrightarrow lambda = 6011
Logo,
x = 60/114 = 1511, y = 60/116 = 1011, z = 60/112 = 3011

Resposta

l(x,y,zr)=l(tfrac1511,,tfrac1011,,tfrac3011r).

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