Encontre a soma das seguintes séries:
sumn=1^+infty(3n^2-3(n+1)^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
sumn=1^+inftyl(3n^2-3(n+1)^2r)
O conteúdo principal aqui é séries numéricas, em particular reconhecer que a expressão dentro da soma é telescópica, ou seja, muitos termos irão se cancelar.

Passo 2

Observe que podemos fatorar o 3 como constante fora da diferença:
3n^2 - 3(n+1)^2 =3l(1n^2 - 1(n+1)^2r)
Isso revela a estrutura telescópica: termos de tfrac1n^2 vão se anular parcialmente com termos de tfrac1(n+1)^2.

Passo 3

Calcule a soma parcial até N:
SN =sumn=1^N3l(1n^2 - 1(n+1)^2r) =3l(sumn=1^N1n^2 - sumn=1^N1(n+1)^2r)
Na segunda soma podemos mudar o índice: sumn=1^N1(n+1)^2=sumk=2^N+11k^2. Logo
SN =3l(l(tfrac11^2+tfrac12^2+cdots+tfrac1N^2r) -l(tfrac12^2+cdots+tfrac1(N+1)^2r)r) =3l(1-1(N+1)^2r)

Passo 4

Fazendo Nto+infty, o termo tfrac1(N+1)^2 vai a zero. Portanto a soma da série é
sumn=1^+inftyl(3n^2-3(n+1)^2r) =limNtoinftySN =3(1-0)=3

Resposta

A soma da série é 3.

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