Encontre a soma das seguintes séries:
1-12+14-18+ldots+(-1)^n-1 12^n-1+ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a soma da série infinita:
1 - 12 + 14 - 18 + ldots + (-1)^n-1 12^n-1 + ldots
Estamos lidando com uma série geométrica, que é uma sequência de números onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. Para resolver isso, vamos precisar identificar o primeiro termo e a razão da série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da série. Olhando para a série, o primeiro número é 1. Então, nosso primeiro termo a é:
a = 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar a razão da série. A razão r é o fator pelo qual multiplicamos um termo para chegar no próximo. Por exemplo, para ir de 1 para -12 , multiplicamos por -12 . Verificando os próximos termos:
-12 times (-12) = 14
14 times (-12) = -18
Então, a razão r é:
r = -12

Passo 4

Sabemos que para uma série geométrica infinita onde |r| < 1 , a soma S pode ser calculada usando a fórmula:
S = a1 - r
Essa fórmula funciona porque, com |r| < 1 , os termos da série ficam cada vez menores, permitindo que a série convirja para um valor finito.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula agora que identificamos a = 1 e r = -12 :
S = 11 - (-12)

Passo 6

Simplificando a expressão:
S = 11 + 12
S = 132
S = 23

Resposta

A soma da série é 23 .

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