Calcule o limite de cada uma das sequências abaixo:
lim x +infty(7 n+101+7 n)^n3(R: e^37)

Passo 1

O enunciado pede para calcular limnto+infty(7n+101+7n)^n3. O conteúdo é limites de sequências que assumem forma exponencial do tipo l(1+xnr)^yn. Vamos usar o fato de que se xnto0 e ynto+infty, então
limntoinfty(1+xn)^yn = e^limntoinftyxnyn,
quando esse último limite existir.

Passo 2

Reescrevemos o termo dentro dos parênteses como
7n+107n+1 =1+(7n+10)-(7n+1)7n+1 =1+97n+1
Definimos xn=97n+1 e yn=n3.

Passo 3

Observamos que xnto0 e ynto+infty. Pelo limite exponencial,
limntoinftyl(1+xnr)^yn = e^limntoinftyxnyn
Calculamos
xnyn =97n+1cdotn3 =3n7n+1

Passo 4

Calculamos o limite de xnyn:
limntoinfty3n7n+1 =37

Passo 5

Concluímos que
limntoinfty(7n+107n+1)^n3 = e^37

Resposta

e^37

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