Ache o momento de Inércia em relação ao eixo z do sólido limitado pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=z, sabendo que a densidade em qualquer ponto é constante.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia em relação ao eixo z de um sólido de densidade constante \rho, limitado pelo cone z = \sqrt{x^2 + y^2} e pela esfera
x^2 + y^2 + z^2 = z.
O conteúdo é integração em coordenadas cilíndricas e cálculo de momento de inércia usando
I_z = \iiint_V (x^2 + y^2)\,\rho\,dV.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) temos
x^2+y^2 = r^2,
e a esfera fica
r^2 + z^2 = z\quad\Longrightarrow\quad z^2 - z + r^2 = 0.
As soluções são
z = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4r^2}}{2}.
O cone é z = r. A interseção entre cone e esfera ocorre para
r^2 + r^2 = r \quad\Longrightarrow\quad r=\tfrac12,\;z=r=\tfrac12.
Logo r varia de 0 a \tfrac12, e para cada r temos
r \;\le\; z \;\le\; \frac{1 + \sqrt{1 - 4r^2}}{2}.

Passo 3

O momento de inércia em relação a z é
I_z = \iiint_V (x^2 + y^2)\,\rho\,dV = \rho \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1/2}\!\int_{z=r}^{\frac{1 + \sqrt{1 - 4r^2}}{2}} r^2 \,(r\,dz\,dr\,d\theta).
Aqui dV = r\,dz\,dr\,d\theta e x^2+y^2=r^2, logo o integrando é r^3.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
I_z = 2\pi\rho \int_{0}^{1/2} r^3\Biggl[\frac{1 + \sqrt{1 - 4r^2}}{2} - r\Biggr]dr = 2\pi\rho\Biggl( \int_{0}^{1/2}r^3\bigl(\tfrac12 - r\bigr)dr + \tfrac12\int_{0}^{1/2}r^3\sqrt{1 - 4r^2}\,dr \Biggr).

Passo 5

Calcula-se separadamente
\int_{0}^{1/2}r^3\bigl(\tfrac12 - r\bigr)dr = \frac{1}{640}, \qquad \int_{0}^{1/2}r^3\sqrt{1-4r^2}\,dr = \frac{1}{120}.
Substituindo,
I_z = 2\pi\rho\Bigl(\tfrac{1}{640} + \tfrac{1}{240}\Bigr) = \frac{11\pi\rho}{960}.

Passo 6

Para expressar em função da massa total M, calculamos o volume
V = \int_V dV =2\pi \int_{0}^{1/2} r\Bigl[\tfrac{1 + \sqrt{1 - 4r^2}}{2}-r\Bigr]dr = \frac{\pi}{8},
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M = \rho\,V = \rho\,\frac{\pi}{8} \quad\Longrightarrow\quad \rho = \frac{8M}{\pi}.
Então
I_z = \frac{11\pi}{960}\,\rho = \frac{11\pi}{960}\,\frac{8M}{\pi} = \frac{11}{120}\,M.

Resposta

\boxed{I_z = \frac{11}{120}\,M.}

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