Ache o momento de Inércia em relação ao eixo
do sólido limitado pelo cone
e a esfera
, sabendo que a densidade em qualquer ponto é constante.
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia em relação ao eixo
de um sólido de densidade constante
, limitado pelo cone
e pela esfera
O conteúdo é integração em coordenadas cilíndricas e cálculo de momento de inércia usando
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas
temos
e a esfera fica
As soluções são
O cone é
. A interseção entre cone e esfera ocorre para
Logo
varia de
a
, e para cada
temos
Passo 3
O momento de inércia em relação a
é
Aqui
e
, logo o integrando é
.
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Passo 5
Calcula-se separadamente
Substituindo,
Passo 6
Para expressar em função da massa total
, calculamos o volume
logo
Então