Resolva a equação diferencial dada.
x^{\frac{7}{2}} y^{\prime \prime}+y^{\prime} x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{\frac{7}{2}}\,y''(x) \;+\; x\,y'(x) \;=\; 0.
Este é um EDO de segunda ordem em que podemos usar redução de ordem definindo u(x)=y'(x).

Passo 2

Definindo
u(x)=y'(x),
temos u'(x)=y''(x). Substituindo na equação original:
x^{\frac{7}{2}}\,u'(x) + x\,u(x)=0.
Dividindo tudo por x (supondo x\neq0):
x^{\frac{5}{2}}\,u'(x) + u(x)=0.

Passo 3

Escrevemos isso como uma EDO linear de primeira ordem em u:
u'(x) + x^{-\frac{5}{2}}\,u(x)=0.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int x^{-\frac{5}{2}}\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(-\frac{2}{3}\,x^{-\frac{3}{2}}\Bigr).
Multiplicando a equação por \mu(x) e integrando, obtemos
\mu(x)\,u(x)=C_1 \quad\Longrightarrow\quad u(x)=C_1\,e^{\frac{2}{3}\,x^{-\frac{3}{2}}}.

Passo 4

Voltando a y', temos
y'(x)=C_1\,\exp\Bigl(\tfrac{2}{3}\,x^{-\frac{3}{2}}\Bigr).
Agora basta integrar para achar y(x):
y(x)=\int y'(x)\,dx =C_1\int \exp\Bigl(\tfrac{2}{3}\,x^{-\frac{3}{2}}\Bigr)\,dx + C_2,
onde C_2 é a segunda constante de integração.

Resposta

y(x)=C_1\int \exp\!\Bigl(\tfrac{2}{3}\,x^{-\frac{3}{2}}\Bigr)\,dx \;+\; C_2,
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

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