Sejam f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R} e g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} as funções definidas por f(x)=\frac{1}{x} e g(x)=x^{3}-x^{2}. Determine as funções abaixo e seus respectivos domínios:
(a) f \cdot g
(b) \frac{f}{g}
(c) f \circ g

Passo 1

O enunciado define
f: \mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R} por
f(x)=\frac{1}{x},
g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} por
g(x)=x^{3}-x^{2}.
Pede-se (a) o produto f\cdot g, (b) o quociente f/g e (c) a composição f\circ g, junto com seus domínios. Para isso vamos usar as regras:
\dom(f\cdot g)=\dom f\cap\dom g,
\dom\bigl(\tfrac{f}{g}\bigr)=\dom f\cap\dom g excluindo zeros de g,
\dom(f\circ g)=\{x\in\dom g\mid g(x)\in\dom f\}.

Passo 2

Produto f\cdot g: \dom f=\mathbb{R}\setminus\{0\}, \dom g=\mathbb{R}
\dom(f\cdot g)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Para x\neq0,
(f\cdot g)(x) = f(x)\,g(x) =\frac{1}{x}\,\bigl(x^{3}-x^{2}\bigr) = x^{2}-x.

Passo 3

Quociente f/g: \dom(f/g)=\dom f\cap\dom g com g(x)\neq0, ou seja x\neq0 e
x^{3}-x^{2}\neq0\;\Longrightarrow\;x^{2}(x-1)\neq0 \;\Longrightarrow\;x\neq0,\;x\neq1.
Para esses x,
\bigl(f/g\bigr)(x) =\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{\tfrac{1}{x}}{\,x^{3}-x^{2}\,} =\frac{1}{x\,(x^{3}-x^{2})} =\frac{1}{x^{3}(x-1)}.

Passo 4

Composição f\circ g: \dom(f\circ g)=\{x\in\dom g\mid g(x)\in\dom f\}. Como \dom g=\mathbb{R} e \dom f=\mathbb{R}\setminus\{0\}, exigimos
g(x)=x^{3}-x^{2}\neq0 \;\Longrightarrow\;x\neq0,\;x\neq1.
Para esses x,
(f\circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) =\frac{1}{\,g(x)\,} =\frac{1}{x^{3}-x^{2}}.

Resposta

(a) (f\cdot g)(x)=x^{2}-x,\quad\dom(f\cdot g)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
(b) \bigl(f/g\bigr)(x)=\frac{1}{x^{3}(x-1)},\quad\dom(f/g)=\mathbb{R}\setminus\{0,1\}.
(c) (f\circ g)(x)=\frac{1}{x^{3}-x^{2}},\quad\dom(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{0,1\}.

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