Resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
que é de segunda ordem, linear e com coeficientes que dependem de
. Vamos usar a técnica de reduzir a ordem através da substituição
transformando-a numa equação de primeira ordem para
.
Passo 2
Substituindo
e
na equação original, obtemos
Isso é uma equação linear de primeira ordem em
:
Passo 3
Para resolver
usamos fator integrante. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
temos
onde
é constante de integração.
Passo 4
Agora integramos
para achar
:
sendo
outra constante de integração. Essa integral não se expressa em termos de funções elementares usuais, mas pode ser deixada em forma de integral indefinida ou ser expressa com função integral exponencial, se desejado.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
e