Resolva a equação diferencial dada.
x^{2} y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2}y'' - y' = 0
que é de segunda ordem, linear e com coeficientes que dependem de x. Vamos usar a técnica de reduzir a ordem através da substituição
p(x)=y'(x),
transformando-a numa equação de primeira ordem para p.

Passo 2

Substituindo y'=p e y''=p' na equação original, obtemos
x^{2}p' - p = 0.
Isso é uma equação linear de primeira ordem em p:
p' - \frac{1}{x^{2}}\,p = 0.

Passo 3

Para resolver
p' - \frac{1}{x^{2}}\,p = 0
usamos fator integrante. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(-\int \tfrac{1}{x^{2}}\,dx\Bigr)=\exp\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).
Multiplicando a equação por \mu temos
\frac{d}{dx}\bigl(\mu\,p\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \mu\,p = C_{1} \quad\Longrightarrow\quad p = y' = C_{1}\,\exp\bigl(-\tfrac{1}{x}\bigr),
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 4

Agora integramos y'=C_{1}e^{-1/x} para achar y:
y(x) = C_{1}\int e^{-1/x}\,dx + C_{2},
sendo C_{2} outra constante de integração. Essa integral não se expressa em termos de funções elementares usuais, mas pode ser deixada em forma de integral indefinida ou ser expressa com função integral exponencial, se desejado.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_{1}\int e^{-1/x}\,dx + C_{2},
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes arbitrárias.ãá

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