Seja f(x)=a x^{2}+b x+c, com a, b, c \in \mathbb{R} e a \neq 0. Se \Delta=b^{2}-4 a c=0 e a<0 :
a) Quantos zeros tem a função f ?
b) Qual a concavidade do gráfico de f ?
c) A função f tem ponto de máximo ou de mínimo? Se sim, qual?
d) Faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
f(x)=a x^{2}+b x+c,
com a,b,c\in\mathbb{R}, a\neq0, e informa que o discriminante
\Delta=b^{2}-4ac
vale zero e que a<0. Vamos usar: (i) fórmula de raízes de uma quadrática; (ii) sinal de a para concavidade; (iii) fórmula do vértice para extremum; (iv) esboço qualitativo de parábola.

Passo 2

Quando \Delta=0, a fórmula das raízes
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}
vira
x=\frac{-b}{2a}
com multiplicidade 2. Logo, há exatamente uma raiz real (dupla) em
x_{0}=-\frac{b}{2a}.

Passo 3

A concavidade do gráfico de f é determinada pelo sinal de a. Como a<0, o gráfico é côncavo para baixo.

Passo 4

O vértice \bigl(x_{v},y_{v}\bigr) de uma quadrática ax^{2}+bx+c vale
x_{v}=-\frac{b}{2a}, \qquad y_{v}=f(x_{v})=-\frac{\Delta}{4a}.
Aqui \Delta=0, logo
y_{v}=0.
Como a parábola é côncava para baixo, esse vértice é um ponto de máximo:
\Bigl(-\tfrac{b}{2a},\,0\Bigr).

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico de f: parâbola voltada para baixo, tangente ao eixo x no único zero x_{0}=-\tfrac{b}{2a}. Abaixo segue um desenho aproximado (eixo x horizontal, y vertical):
y

| *
| /
| /
---------------*------→ x
| x_{0}
Nesse desenho o ponto central marcado é o vértice \bigl(x_{0},0\bigr), e a curva permanece abaixo do eixo x para x\neq x_{0}.

Resposta

(a) A função tem um único zero real (de multiplicidade 2) em x=-\tfrac{b}{2a}.
(b) O gráfico é côncavo para baixo.
(c) Há um ponto de máximo no vértice \bigl(-\tfrac{b}{2a},0\bigr).
(d) Esboço: parábola orientada para baixo, tangente ao eixo x em x=-\tfrac{b}{2a}, conforme desenho acima.

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