Seja
, com
e
. Se
e
:
a) Quantos zeros tem a função
?
b) Qual a concavidade do gráfico de
?
c) A função
tem ponto de máximo ou de mínimo? Se sim, qual?
d) Faça um esboço do gráfico de
.
a) Quantos zeros tem a função
b) Qual a concavidade do gráfico de
c) A função
d) Faça um esboço do gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
com
,
, e informa que o discriminante
vale zero e que
. Vamos usar: (i) fórmula de raízes de uma quadrática; (ii) sinal de
para concavidade; (iii) fórmula do vértice para extremum; (iv) esboço qualitativo de parábola.
Passo 2
Quando
, a fórmula das raízes
vira
com multiplicidade 2. Logo, há exatamente uma raiz real (dupla) em
Passo 3
A concavidade do gráfico de
é determinada pelo sinal de
. Como
, o gráfico é côncavo para baixo.
Passo 4
O vértice
de uma quadrática
vale
Aqui
, logo
Como a parábola é côncava para baixo, esse vértice é um ponto de máximo:
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico de
: parâbola voltada para baixo, tangente ao eixo
no único zero
. Abaixo segue um desenho aproximado (eixo
horizontal,
vertical):
y
↑
| *
| /
| /
---------------*------→ x
|
↑
| *
| /
| /
---------------*------→ x
|
Nesse desenho o ponto central marcado é o vértice
, e a curva permanece abaixo do eixo
para
.
Resposta
(a) A função tem um único zero real (de multiplicidade 2) em
.
(b) O gráfico é côncavo para baixo.
(c) Há um ponto de máximo no vértice .
(d) Esboço: parábola orientada para baixo, tangente ao eixo em
, conforme desenho acima.
(b) O gráfico é côncavo para baixo.
(c) Há um ponto de máximo no vértice
(d) Esboço: parábola orientada para baixo, tangente ao eixo