Ache a natureza de uma pirâmide, sabendo que a soma dos ângulos das faces é 20 retos.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a “natureza” da pirâmide, isto é, descobrir qual é a base (quantos lados tem) da pirâmide, sabendo que a soma dos ângulos das faces é 20 retos. Informações dadas e interpretação imediata:
  • Um “reto” vale 90^\circ. Portanto 20 retos correspondem a \,20\cdot90^\circ=1800^\circ.
  • Numa pirâmide com base um polígono de n lados, há uma face base (um n-gono) e n faces laterais (triângulos), totalizando n+1 faces.
  • Vamos somar os ângulos internos de todas as faces (cada face conta com os seus ângulos), e igualar ao valor dado 1800^\circ.

Passo 2

Lembrete didático: soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados.
  • Um polígono convexo de n lados pode ser dividido em n-2 triângulos cujas somas dos ângulos internos totalizam a soma dos ângulos do polígono.
  • Cada triângulo tem soma de ângulos igual a 180^\circ.
  • Portanto a soma dos ângulos internos do n-gono é
(n-2)\cdot 180^\circ.
Exemplo concreto: para n=4 (quadrado), (4-2)\cdot180^\circ=360^\circ, que é a soma dos quatro ângulos internos.

Passo 3

Lembrete didático: soma dos ângulos das faces laterais (triângulos).
  • Cada face lateral é um triângulo, cuja soma dos ângulos internos é 180^\circ.
  • Há exatamente n faces laterais (uma para cada lado da base).
  • Logo a soma das somas dos ângulos de todas as faces laterais é
n\cdot 180^\circ.

Passo 4

Somando a contribuição da base e das faces laterais para obter a soma total dos ângulos de todas as faces:
\text{Soma total} = (n-2)\cdot 180^\circ + n\cdot 180^\circ.
Agora simplificamos a expressão:
(n-2)\cdot 180^\circ + n\cdot 180^\circ = (2n-2)\cdot 180^\circ.

Passo 5

Igualamos a soma total ao valor dado 1800^\circ (que corresponde a 20 retos) e resolvemos para n:
(2n-2)\cdot 180^\circ = 1800^\circ.
Dividindo ambos os lados por 180^\circ:
2n-2 = 10.
Agora isolamos n:
2n = 12 \quad\Rightarrow\quad n = 6.

Passo 6

Interpretação do resultado: n=6 significa que a base da pirâmide tem 6 lados, isto é, é um hexágono. Portanto a pirâmide é uma pirâmide de base hexagonal (piramide com 6 faces laterais triangulares).

Resposta

Pirâmide de base hexagonal (base com 6 lados).

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