Ache a natureza de uma pirâmide, sabendo que a soma dos ângulos das faces é 20 retos.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a “natureza” da pirâmide, isto é, descobrir qual é a base (quantos lados tem) da pirâmide, sabendo que a soma dos ângulos das faces é
retos. Informações dadas e interpretação imediata:
- Um “reto” vale
. Portanto retos correspondem a . - Numa pirâmide com base um polígono de
lados, há uma face base (um -gono) e faces laterais (triângulos), totalizando faces. - Vamos somar os ângulos internos de todas as faces (cada face conta com os seus ângulos), e igualar ao valor dado
.
Passo 2
Lembrete didático: soma dos ângulos internos de um polígono convexo com
lados.
- Um polígono convexo de
lados pode ser dividido em triângulos cujas somas dos ângulos internos totalizam a soma dos ângulos do polígono. - Cada triângulo tem soma de ângulos igual a
. - Portanto a soma dos ângulos internos do
-gono é
Exemplo concreto: para
(quadrado),
, que é a soma dos quatro ângulos internos.
Passo 3
Lembrete didático: soma dos ângulos das faces laterais (triângulos).
- Cada face lateral é um triângulo, cuja soma dos ângulos internos é
. - Há exatamente
faces laterais (uma para cada lado da base). - Logo a soma das somas dos ângulos de todas as faces laterais é
Passo 4
Somando a contribuição da base e das faces laterais para obter a soma total dos ângulos de todas as faces:
Agora simplificamos a expressão:
Passo 5
Igualamos a soma total ao valor dado
(que corresponde a
retos) e resolvemos para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora isolamos
:
Passo 6
Interpretação do resultado:
significa que a base da pirâmide tem
lados, isto é, é um hexágono. Portanto a pirâmide é uma pirâmide de base hexagonal (piramide com
faces laterais triangulares).
Resposta
Pirâmide de base hexagonal (base com
lados).