De um tetraedro regular de aresta a, calcule:
(a) a área total;
(b) a altura;

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro regular de aresta \,a.
Pede-se:
(a) a área total do tetraedro;
(b) a altura do tetraedro (distância de um vértice ao plano da face oposta).
Informações relevantes: cada face é um triângulo equilátero de lado \,a. Nada mais é fornecido em figura ou tabela.

Passo 2

Vamos calcular a área de uma face (um triângulo equilátero) passo a passo, porque a área total será quatro vezes essa área.
Para um triângulo equilátero de lado \,a, desenhando a mediana que parte de um vértice até o lado oposto, obtemos um triângulo retângulo com catetos \,\frac{a}{2} e a altura do triângulo equilátero (vou chamar de \,h_{\triangle}) e hipotenusa \,a. Aplicando o teorema de Pitágoras:
a^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+h_{\triangle}^2.

Passo 3

Resolvendo a equação anterior para \,h_{\triangle}:
h_{\triangle}^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4},
portanto
h_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a.
Agora a área de um triângulo é \text{Área}=\dfrac{\text{base}\times\text{altura}}{2}Á. Usando base a e altura h_{\triangle},
A_{\text{face}} = \frac{a\cdot h_{\triangle}}{2} = \frac{a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2.

Passo 4

Como o tetraedro regular tem quatro faces congruentes, a área total é quatro vezes a área de uma face:
A_{\text{total}} = 4\cdot A_{\text{face}} = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 = \sqrt{3}\,a^2.

Passo 5

Agora vamos achar a altura do tetraedro. Considere a face base um triângulo equilátero; o pé da perpendicular da altura do tetraedro ao plano da base é o centróide do triângulo (pois o tetraedro é regular). Precisamos da distância do centróide a um vértice da base (vou chamar essa distância de \,r). Para isso usamos a propriedade da mediana: o centróide divide a mediana no sentido vértice→base na razão 2:1, medindo \tfrac{2}{3} da mediana a partir do vértice. A mediana do triângulo tem comprimento h_{\triangle}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a, então
r=\frac{2}{3}\,h_{\triangle}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\,a=\frac{\sqrt{3}}{3}\,a.

Passo 6

Considere agora o triângulo reto formado por: a aresta \,a que liga o vértice superior a um vértice da base (hipotenusa), a altura do tetraedro \,H (cateto perpendicular ao plano da base) e \,r (cateto no plano da base, distância do centróide ao vértice da base). Pelo teorema de Pitágoras:
a^2 = H^2 + r^2.
Substituindo r=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a,
a^2 = H^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2 = H^2 + \frac{1}{3}a^2.

Passo 7

Isolando H^2 e tirando raiz,
H^2 = a^2 - \frac{1}{3}a^2 = \frac{2}{3}a^2,
logo
H = \sqrt{\frac{2}{3}}\,a = \frac{a\sqrt{6}}{3}.
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é só uma racionalização prática.

Resposta

(a) \sqrt{3}\,a^2
(b) \dfrac{a\sqrt{6}}{3}

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