De um tetraedro regular de aresta
, calcule:
(a) a área total;
(b) a altura;
(a) a área total;
(b) a altura;
Passo 1
O enunciado dá um tetraedro regular de aresta
.
Pede-se:
(a) a área total do tetraedro;
(b) a altura do tetraedro (distância de um vértice ao plano da face oposta).
Pede-se:
(a) a área total do tetraedro;
(b) a altura do tetraedro (distância de um vértice ao plano da face oposta).
Informações relevantes: cada face é um triângulo equilátero de lado
. Nada mais é fornecido em figura ou tabela.
Passo 2
Vamos calcular a área de uma face (um triângulo equilátero) passo a passo, porque a área total será quatro vezes essa área.
Para um triângulo equilátero de lado , desenhando a mediana que parte de um vértice até o lado oposto, obtemos um triângulo retângulo com catetos
e a altura do triângulo equilátero (vou chamar de
) e hipotenusa
. Aplicando o teorema de Pitágoras:
Para um triângulo equilátero de lado
Passo 3
Resolvendo a equação anterior para
:
portanto
Agora a área de um triângulo é
. Usando base
e altura
,
Passo 4
Como o tetraedro regular tem quatro faces congruentes, a área total é quatro vezes a área de uma face:
Passo 5
Agora vamos achar a altura do tetraedro. Considere a face base um triângulo equilátero; o pé da perpendicular da altura do tetraedro ao plano da base é o centróide do triângulo (pois o tetraedro é regular). Precisamos da distância do centróide a um vértice da base (vou chamar essa distância de
). Para isso usamos a propriedade da mediana: o centróide divide a mediana no sentido vértice→base na razão
, medindo
da mediana a partir do vértice. A mediana do triângulo tem comprimento
, então
Passo 6
Considere agora o triângulo reto formado por: a aresta
que liga o vértice superior a um vértice da base (hipotenusa), a altura do tetraedro
(cateto perpendicular ao plano da base) e
(cateto no plano da base, distância do centróide ao vértice da base). Pelo teorema de Pitágoras:
Substituindo
,
Passo 7
Isolando
e tirando raiz,
logo
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é só uma racionalização prática.
Resposta
(a)
(b)
(b)