Ache os números críticos, se existirem, das funções:
;
Passo 1
O enunciado pede: "Ache os números críticos, se existirem, da função
".
Informações dadas pelo enunciado:
Informações dadas pelo enunciado:
- A função é
. - Há uma raiz quadrada
, então o domínio não é todo . (Os detalhes do domínio serão calculados no próximo passo.)
O que devemos entregar: todos os númerosque pertencem ao domínio de e que são pontos onde vale zero ou onde não existe (esses são os “números críticos” que a questão pede).
Passo 2
Determinar o domínio de
. A raiz quadrada
exige que o radicando seja não negativo:
Resolvendo
fazemos
, o que ocorre para
Portanto o domínio é
Explicação curta utilitária: um número crítico precisa estar no domínio; não adianta achar um zero de
fora do domínio.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
para os pontos interiores do domínio (ou seja, para
e
). Usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Recordando as regras que usaremos:
- Regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então
Aqui podemos tomar
e
.
- Regra da cadeia: se
, então
No nosso caso
e
.
Agora aplicando:
Pelo produto,
Passo 4
Simplificar a expressão de
para facilitar achar zeros e pontos onde não existe. Colocamos em denominador comum
:
Calculemos o numerador:
logo somando:
Portanto, para
com
(onde o denominador é diferente de zero),
Observação importante: a derivada escrita assim está bem definida somente quando
, isto é, somente para
. Em
a expressão tem denominador zero, então
não existe nesses pontos — veremos isso como candidatos a números críticos (desde que estejam no domínio, e eles estão).
Passo 5
Achar os pontos onde
. Para
isso equivale a resolver o numerador igual a zero:
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
,
Aqui
,
,
. O discriminante é
As raízes são
Agora vamos ver quais dessas raízes pertencem ao domínio
.
Calculemos aproximadamente para identificar em que intervalo cada uma está:
-
satisfaz , logo está no domínio; é um número crítico porque anula . -
NÃO pertence ao domínio (porque está entre e ), portanto não é considerado.
Passo 6
Verificar pontos onde
não existe porém
está definida. Como observado, o denominador
zera em
. Esses valores pertencem ao domínio (são os extremos de cada ramo), então
não existe em
e em
. Pelo critério de números críticos (números do domínio onde
é zero ou não existe), ambos são críticos.
Também é útil checar que em
o numerador não é zero (portanto a indeterminação é do tipo não-zero sobre zero, evocando uma derivada inexistente/infinita):
Calcule o numerador em
e
:
Calcule o numerador
Logo
realmente não existe em
(não é um zero cancelando o denominador).
Passo 7
Conclusão — listar todos os números críticos que pertencem ao domínio:
-
(derivada não existe ali, mas está definida); -
(derivada não existe ali, mas está definida); -
(anula e pertence ao domínio).