Ache os números críticos, se existirem, das funções:
f(x)=(2 x-5) \sqrt{x^{2}-4};

Passo 1

O enunciado pede: "Ache os números críticos, se existirem, da função f(x)=(2x-5)\sqrt{x^{2}-4}".
Informações dadas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=(2x-5)\sqrt{x^{2}-4}.
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{x^{2}-4}, então o domínio não é todo \mathbb{R}. (Os detalhes do domínio serão calculados no próximo passo.)
    O que devemos entregar: todos os números x que pertencem ao domínio de f e que são pontos onde f' vale zero ou onde f' não existe (esses são os “números críticos” que a questão pede).

Passo 2

Determinar o domínio de f. A raiz quadrada \sqrt{x^{2}-4} exige que o radicando seja não negativo:
x^{2}-4 \ge 0.
Resolvendo x^{2}-4 \ge 0 fazemos (x-2)(x+2)\ge 0, o que ocorre para
x \le -2 \quad\text{ou}\quad x \ge 2.
Portanto o domínio é
\mathrm{Dom}(f)=(-\infty,-2]\cup[2,\infty).
Explicação curta utilitária: um número crítico precisa estar no domínio; não adianta achar um zero de f' fora do domínio.

Passo 3

Vamos calcular a derivada f'(x) para os pontos interiores do domínio (ou seja, para x<-2 e x>2). Usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Recordando as regras que usaremos:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui podemos tomar u(x)=2x-5 e v(x)=\sqrt{x^{2}-4}=(x^{2}-4)^{1/2}.
  • Regra da cadeia: se w(x)=(\varphi(x))^{1/2}, então
w'(x)=\tfrac{1}{2}(\varphi(x))^{-1/2}\cdot\varphi'(x).
No nosso caso \varphi(x)=x^{2}-4 e \varphi'(x)=2x.
Agora aplicando:
u'(x)=2, \qquad v'(x)=\tfrac{1}{2}(x^{2}-4)^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}.
Pelo produto,
f'(x)=2\sqrt{x^{2}-4}+(2x-5)\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}.

Passo 4

Simplificar a expressão de f'(x) para facilitar achar zeros e pontos onde não existe. Colocamos em denominador comum \sqrt{x^{2}-4}:
f'(x)=\frac{2(x^{2}-4)+x(2x-5)}{\sqrt{x^{2}-4}}.
Calculemos o numerador:
2(x^{2}-4)=2x^{2}-8, \qquad x(2x-5)=2x^{2}-5x,
logo somando:
2x^{2}-8+2x^{2}-5x = 4x^{2}-5x-8.
Portanto, para x com |x|>2 (onde o denominador é diferente de zero),
\boxed{\,f'(x)=\dfrac{4x^{2}-5x-8}{\sqrt{x^{2}-4}}\,.}
Observação importante: a derivada escrita assim está bem definida somente quando \sqrt{x^{2}-4}\neq 0, isto é, somente para x\neq \pm 2. Em x=\pm 2 a expressão tem denominador zero, então f' não existe nesses pontos — veremos isso como candidatos a números críticos (desde que estejam no domínio, e eles estão).

Passo 5

Achar os pontos onde f'(x)=0. Para |x|>2 isso equivale a resolver o numerador igual a zero:
4x^{2}-5x-8=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação ax^{2}+bx+c=0,
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=4, b=-5, c=-8. O discriminante é
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot 4\cdot(-8)=25+128=153.
As raízes são
x=\frac{5\pm\sqrt{153}}{8}.
Agora vamos ver quais dessas raízes pertencem ao domínio (-\infty,-2]\cup[2,\infty).
Calculemos aproximadamente para identificar em que intervalo cada uma está:
\sqrt{153}\approx 12{,}369\quad\Rightarrow\quad x_1=\frac{5+ \sqrt{153}}{8}\approx\frac{17{,}369}{8}\approx 2{,}171,
x_2=\frac{5- \sqrt{153}}{8}\approx\frac{-7{,}369}{8}\approx -0{,}921.
  • x_1\approx 2{,}171 satisfaz x\ge 2, logo está no domínio; é um número crítico porque anula f'.
  • x_2\approx -0{,}921 NÃO pertence ao domínio (porque está entre -2 e 2), portanto não é considerado.

Passo 6

Verificar pontos onde f' não existe porém f está definida. Como observado, o denominador \sqrt{x^{2}-4} zera em x=\pm 2. Esses valores pertencem ao domínio (são os extremos de cada ramo), então f' não existe em x=2 e em x=-2. Pelo critério de números críticos (números do domínio onde f' é zero ou não existe), ambos são críticos.
Também é útil checar que em x=\pm 2 o numerador não é zero (portanto a indeterminação é do tipo não-zero sobre zero, evocando uma derivada inexistente/infinita):
Calcule o numerador N(x)=4x^{2}-5x-8 em x=2 e x=-2:
N(2)=4\cdot 4 -5\cdot 2 -8 =16-10-8=-2\neq 0,
N(-2)=4\cdot 4 -5\cdot(-2)-8 =16+10-8=18\neq 0.
Logo f' realmente não existe em x=\pm 2 (não é um zero cancelando o denominador).

Passo 7

Conclusão — listar todos os números críticos que pertencem ao domínio:
  • x=-2 (derivada não existe ali, mas f está definida);
  • x=2 (derivada não existe ali, mas f está definida);
  • x=\dfrac{5+\sqrt{153}}{8} (anula f' e pertence ao domínio).

Resposta

x=-2
x=2
x=\dfrac{5+\sqrt{153}}{8}

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