Ache os números críticos da função P(T)=5 T^3-T^2-20 T+4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os números críticos da função P(T) = 5T^3 - T^2 - 20T + 4 . Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente do estudo de derivadas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e encontrar onde ela é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, o que são números críticos? Eles são os valores de T onde a derivada da função P(T) é zero ou não existe. No caso de polinômios, como o nosso aqui, a derivada sempre existe. Então, nosso foco será encontrar onde a derivada é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de P(T) . A derivada de uma função polinomial é encontrada aplicando a regra do poder, que diz que ddT(T^n) = nT^n-1 .
Então, derivando cada termo de P(T) :
P'(T) = ddT(5T^3) - ddT(T^2) - ddT(20T) + ddT(4)
P'(T) = 15T^2 - 2T - 20 + 0
P'(T) = 15T^2 - 2T - 20

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de T que fazem com que P'(T) = 0 . Então, montamos a equação:
15T^2 - 2T - 20 = 0

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática. Para isso, podemos usar a Fórmula de Bhaskara, que é:
T = -b pm raizb^2 - 4ac2a
onde a = 15 , b = -2 e c = -20 .

Passo 6

Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 times 15 times (-20) = 4 + 1200 = 1204
Agora, aplicamos na fórmula:
T = -(-2) pm raiz12042 times 15 = 2 pm raiz120430
Vamos simplificar a raiz quadrada de 1204:
raiz1204 approx 34,71

Passo 7

Substituindo de volta na fórmula:
T = 2 + 34,7130 approx 36,7130 approx 1,224
T = 2 - 34,7130 approx -32,7130 approx -1,090

Resposta

Os números críticos da função P(T) = 5T^3 - T^2 - 20T + 4 são aproximadamente T approx 1,224 e T approx -1,090 .

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