(a) Ache os números primos da forma
.
(b) Existem primos da forma
? E
?
(c) Mostre que se
e
, então
é composto.
(d) Mostre que se
é composto, então
é composto.
Portanto, se
é primo, então
é primo. Números primos da forma
, onde
é primo são chamados primos de Mersenne.
(b) Existem primos da forma
(c) Mostre que se
(d) Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para explorar as fatorações clássicas de
e, a partir delas, (a) determinar quais números da forma
são primos, (b) fazer o mesmo para
e
, (c) mostrar que se
e
então
é composto e (d) provar que se
é composto então
é composto. Vamos usar as fórmulas de fatoração de soma e diferença de potências.
Passo 2
Para (a) note que
Para que
seja primo, um dos fatores deve ser
. Se
então
e
, produzindo o primo
. Não há como ter
. Logo, o único caso é
Passo 3
Para (b) usamos
Novamente, para o produto ser primo um fator deve valer
. Se
então
e
, dando o primo
. Não há outro caso.
Já
Já
e para qualquer
todos os três fatores são maiores que
, logo
é sempre composto.
Passo 4
Para (c) consideramos
inteiro e
. A fatoração geral é
Aqui
e o segundo fator é também
pois soma
termos positivos. Portanto
tem dois divisores não triviais e é composto.
Passo 5
Para (d), se
é composto escrevemos
com
. Então
onde ambos os fatores são maiores que
. Assim
é composto sempre que
não for primo.
Resposta
(a) O único primo da forma
é
, obtido em
.
(b) O único primo da forma é
(em
); não há primos da forma
.
(c) Se e
então
é composto.
(d) Se é composto então
é composto.
Portanto, para que seja primo é necessário que
seja primo (esses primos são os de Mersenne).
(b) O único primo da forma
(c) Se
(d) Se
Portanto, para que