(a) Ache os números primos da forma a^2-1.
(b) Existem primos da forma a^3-1 ? E a^4-1 ?
(c) Mostre que se a>2 e n>1, então a^n-1 é composto.
(d) Mostre que se n é composto, então 2^n-1 é composto.
Portanto, se 2^n-1 é primo, então n é primo. Números primos da forma 2^p-1, onde p é primo são chamados primos de Mersenne.

Passo 1

O enunciado pede para explorar as fatorações clássicas de a^n-1 e, a partir delas, (a) determinar quais números da forma a^2-1 são primos, (b) fazer o mesmo para a^3-1 e a^4-1, (c) mostrar que se a>2 e n>1 então a^n-1 é composto e (d) provar que se n é composto então 2^n-1 é composto. Vamos usar as fórmulas de fatoração de soma e diferença de potências.

Passo 2

Para (a) note que
a^2 - 1 = (a-1)(a+1)
Para que a^2-1 seja primo, um dos fatores deve ser 1. Se a-1=1 então a=2 e a+1=3, produzindo o primo 3. Não há como ter a+1=1. Logo, o único caso é
a=2, a^2-1=3

Passo 3

Para (b) usamos
a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)
Novamente, para o produto ser primo um fator deve valer 1. Se a-1=1 então a=2 e a^2+a+1=7, dando o primo 7. Não há outro caso.
a^4-1=(a^2-1)(a^2+1)=(a-1)(a+1)(a^2+1),
e para qualquer a>=2 todos os três fatores são maiores que 1, logo a^4-1 é sempre composto.

Passo 4

Para (c) consideramos n>1 inteiro e a>2. A fatoração geral é
a^n-1=(a-1)l(a^n-1+a^n-2+cdots+1r)
Aqui a-1>=2 e o segundo fator é também >=2 pois soma n termos positivos. Portanto a^n-1 tem dois divisores não triviais e é composto.

Passo 5

Para (d), se n é composto escrevemos n=rs com r,s>1. Então
2^n-1 = 2^rs-1 = l(2^rr)^s - 1 = l(2^r-1r)l(2^r(s-1) + 2^r(s-2) + cdots +1r),
onde ambos os fatores são maiores que 1. Assim 2^n-1 é composto sempre que n não for primo.

Resposta

(a) O único primo da forma a^2-1 é 3, obtido em a=2.
(b) O único primo da forma a^3-1 é 7 (em a=2); não há primos da forma a^4-1.
(c) Se a>2 e n>1 então a^n-1=(a-1)(a^n-1+cdots+1) é composto.
(d) Se n é composto então 2^n-1=(2^r-1)(cdots) é composto.
Portanto, para que 2^n-1 seja primo é necessário que n seja primo (esses primos são os de Mersenne).

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