(Fuvest/2017-Adaptado) Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a uma temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula V(t)=log 2(5+ 2 sen(pi t)) para 0 <= t <= 2 em que o tempo é medido em horas e V(t) é medido em metros cúbicos. Determinar o instante de tempo, no intervalo de tempo [0,2], em que a pressão do gás é máxima.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma quantidade fixa de gás ideal a temperatura constante, cujo volume varia segundo
V(t)=log2l(5+2sen(pi t)r),
para 0<= t<=2. O tema é o gás ideal e a relação de estado pV=nRT. Como n, R e T são constantes, queremos achar o instante em que a pressão p é máxima.

Passo 2

Da lei dos gases ideais temos
pV=nRTLongrightarrow p=nRTV
Como nRT>0 é constante, maximizar p equivale a minimizar V(t).

Passo 3

A função logarítmica log2(x) é crescente, então minimizar
V(t)=log2l(5+2sen(pi t)r)
é o mesmo que minimizar o seu argumento
A(t)=5+2sen(pi t)

Passo 4

O termo sen(pi t) atinge seu valor mínimo igual a -1 quando
pi t = tfrac3pi2 + 2kpi, kinZ
No intervalo 0<= t<=2 só cabe a solução
pi t = tfrac3pi2 Longrightarrow t=tfrac32

Passo 5

Nos extremos t=0 e t=2 temos sen(0)=0 e sen(2pi)=0, logo A(0)=A(2)=5, maior que A(3/2)=5+2(-1)=3. Portanto, t=3/2 realmente dá o menor volume.

Resposta

O instante em que a pressão é máxima é t=tfrac32 horas.

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