(Fuvest/2017-Adaptado) Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a uma temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula
para
em que o tempo é medido em horas e
é medido em metros cúbicos. Determinar o instante de tempo, no intervalo de tempo
, em que a pressão do gás é máxima.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma quantidade fixa de gás ideal a temperatura constante, cujo volume varia segundo
para
. O tema é o gás ideal e a relação de estado
. Como
,
e
são constantes, queremos achar o instante em que a pressão
é máxima.
Passo 2
Da lei dos gases ideais temos
Como
é constante, maximizar
equivale a minimizar
.
Passo 3
A função logarítmica
é crescente, então minimizar
é o mesmo que minimizar o seu argumento
Passo 4
O termo
atinge seu valor mínimo igual a
quando
No intervalo
só cabe a solução
Passo 5
Nos extremos
e
temos
e
, logo
, maior que
. Portanto,
realmente dá o menor volume.
Resposta
O instante em que a pressão é máxima é
horas.