Determine se as seqüências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequences (sequências) e convergência na matemática, que nos ajudam a entender como os termos da sequência se comportam à medida que
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada parte da sequência. A sequência é dada por:
Aqui, temos dois componentes principais:
-
: Isso alterna o sinal da sequência a cada termo. Ou seja, se for par, , e se for ímpar, . -
: A função seno de , onde está em radianos.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de cada componente:
-
: Como mencionado, alterna o sinal dos termos. Isso significa que a sequência vai oscilar entre valores positivos e negativos. -
: A função seno para qualquer número real oscila entre -1 e 1. No caso de aumentando sem limites, continua a oscilar e não se aproxima de nenhum valor específico.
Passo 4
Agora, combinando os dois componentes:
Como
está sempre entre -1 e 1, e
apenas inverte o sinal, os termos da sequência
vão continuar oscilando entre -1 e 1 sem se aproximar de nenhum número específico à medida que
aumenta.
Passo 5
Para que uma sequência convirja, seus termos precisam se aproximar de um único valor à medida que
cresce. No nosso caso,
não está se aproximando de nenhum valor específico porque está constantemente mudando de sinal e os valores de
não estabilizam.
Resposta
Portanto, a sequência
diverge, ou seja, não converge para nenhum limite específico.