Determine se as seqüências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
(-1)^n sen(n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência (-1)^n sin(n) converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequences (sequências) e convergência na matemática, que nos ajudam a entender como os termos da sequência se comportam à medida que n aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada parte da sequência. A sequência é dada por:
an = (-1)^n sin(n)
Aqui, temos dois componentes principais:
  1. (-1)^n : Isso alterna o sinal da sequência a cada termo. Ou seja, se n for par, (-1)^n = 1 , e se n for ímpar, (-1)^n = -1 .
  2. sin(n) : A função seno de n , onde n está em radianos.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de cada componente:
  • (-1)^n : Como mencionado, alterna o sinal dos termos. Isso significa que a sequência vai oscilar entre valores positivos e negativos.
  • sin(n) : A função seno para qualquer número real oscila entre -1 e 1. No caso de n aumentando sem limites, sin(n) continua a oscilar e não se aproxima de nenhum valor específico.

Passo 4

Agora, combinando os dois componentes:
an = (-1)^n sin(n)
Como sin(n) está sempre entre -1 e 1, e (-1)^n apenas inverte o sinal, os termos da sequência an vão continuar oscilando entre -1 e 1 sem se aproximar de nenhum número específico à medida que n aumenta.

Passo 5

Para que uma sequência convirja, seus termos precisam se aproximar de um único valor à medida que n cresce. No nosso caso, an não está se aproximando de nenhum valor específico porque está constantemente mudando de sinal e os valores de sin(n) não estabilizam.

Resposta

Portanto, a sequência (-1)^n sin(n) diverge, ou seja, não converge para nenhum limite específico.

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