Mostre que
todo cubo que é também um quadrado é da forma 5 n, 5 n+1 ou 5 n+4 (ou seja, nunca é da forma 5 n+2 ou 5 n+3 ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um número inteiro que é simultaneamente um cubo e um quadrado só pode ser congruente a 0, 1 ou 4 módulo 5. O conteúdo que vamos usar é que um inteiro simultaneamente quadrado e cubo é uma sexta potência e o Teorema de Fermat (pequeno) modulo 5.

Passo 2

Se um inteiro N é ao mesmo tempo quadrado e cubo, então existem inteiros a e b tais que
N = a^2 = b^3
Da teoria dos expoentes, isso implica que N é uma sexta potência, ou seja, existe tinZ com
N = t^mcd(2,3) = t^6

Passo 3

Para estudar t^6 bmod 5, se 5mid t então t^6equiv 0pmod5. Caso contrário, aplicamos o Teorema de Fermat que diz que para todo t com gcd(t,5)=1
t^4 equiv 1 pmod5
Multiplicando por t^2 obtemos
t^6 = t^4cdot t^2 equiv 1cdot t^2 = t^2 pmod5

Passo 4

Agora basta ver quais são os quadrados módulo 5. Os resíduos possíveis de t módulo 5 são 0,1,2,3,4. Elevando ao quadrado:
0^2equiv 0, 1^2equiv 1, 2^2equiv 4, 3^2equiv 9equiv4, 4^2equiv16equiv1pmod5
Logo os únicos resíduos quadrados módulo 5 são 0,1,4.

Passo 5

Concluímos que para todo tinZ
t^6 equiv 0,1 ou 4 pmod5,
ou seja, nunca pode ser congruente a 2 nem a 3.

Resposta

Todo inteiro que é ao mesmo tempo quadrado e cubo é congruente a 0, 1 ou 4 módulo 5, isto é, está na forma 5n, 5n+1 ou 5n+4.

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