Mostre que
todo cubo que é também um quadrado é da forma
ou
(ou seja, nunca é da forma
ou
).
todo cubo que é também um quadrado é da forma
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um número inteiro que é simultaneamente um cubo e um quadrado só pode ser congruente a
,
ou
módulo
. O conteúdo que vamos usar é que um inteiro simultaneamente quadrado e cubo é uma sexta potência e o Teorema de Fermat (pequeno) modulo
.
Passo 2
Se um inteiro
é ao mesmo tempo quadrado e cubo, então existem inteiros
e
tais que
Da teoria dos expoentes, isso implica que
é uma sexta potência, ou seja, existe
com
Passo 3
Para estudar
, se
então
. Caso contrário, aplicamos o Teorema de Fermat que diz que para todo
com
Multiplicando por
obtemos
Passo 4
Agora basta ver quais são os quadrados módulo
. Os resíduos possíveis de
módulo
são
. Elevando ao quadrado:
Logo os únicos resíduos quadrados módulo
são
.
Passo 5
Concluímos que para todo
ou seja, nunca pode ser congruente a
nem a
.
Resposta
Todo inteiro que é ao mesmo tempo quadrado e cubo é congruente a
,
ou
módulo
, isto é, está na forma
,
ou
.