Ache uma parametrização para a reta que é a interseção dos planos x-y+z=-3 e 4 x+2 y-4 z=12

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da reta que é interseção dos planos \pi_1: x - y + z = -3 e \pi_2: 4x + 2y - 4z = 12.
Em geometria analítica, para descrever uma reta em \mathbb{R}^3 precisamos de um vetor diretor e de um ponto sobre ela. O vetor diretor é dado pelo produto vetorial dos normais dos planos e o ponto é qualquer solução comum às duas equações.

Passo 2

Identificamos os vetores normais \vec n_1 = (1,-1,1) e \vec n_2 = (4,2,-4).
O vetor diretor \vec d é
\vec d = \vec n_1 \times \vec n_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[3pt] 1 & -1 & 1 \\[3pt] 4 & 2 & -4 \end{vmatrix} = (2)\,\mathbf{i} + (8)\,\mathbf{j} + (6)\,\mathbf{k}.
Podemos simplificar dividindo por 2:
\vec d = (1,\,4,\,3).]

Passo 3

Precisamos agora de um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0)\) que satisfaça \[\begin{cases} x_0 - y_0 + z_0 = -3,\\\\ 4x_0 + 2y_0 - 4z_0 = 12. \end{cases}
Para simplificar, escolhemos z_0 = 0\]. Então \[x_0 - y_0 = -3,\quad 4x_0 + 2y_0 = 12.\] Da primeira, \(x_0 = y_0 - 3. Substituindo na segunda:
4(y_0 - 3) + 2y_0 = 12 \;\Longrightarrow\; 6y_0 - 12 = 12 \;\Longrightarrow\; y_0 = 4,
logo x_0 = 4 - 3 = 1.
Assim, um ponto é P_0 = (1,\,4,\,0).

Passo 4

Com ponto P_0 e vetor diretor \vec d, a parametrização da reta é
\mathbf{r}(t) = (1,\,4,\,0) + t\,(1,\,4,\,3).
Em componentes:
\begin{cases} x(t) = 1 + t,\\\ y(t) = 4 + 4t,\\\ z(t) = 0 + 3t. \end{cases}

Resposta

\boxed{ \mathbf{r}(t) = (1,\,4,\,0) + t\,(1,\,4,\,3), \quad t\in\mathbb{R}. }
Ou equivalentemente
x = 1 + t,\; y = 4 + 4t,\; z = 3t.

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