(a) Ache uma parametrização da superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 que fica acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
(b) Determine o fluxo através da superfície S do item anterior para o campo
\mathbf{F}=\mathbf{i}-\mathbf{j}+z \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) parametrizar a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 que fica acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
(b) calcular o fluxo de \mathbf{F}=\mathbf{i}-\mathbf{j}+z\,\mathbf{k} através dessa superfície S, assumindo a normal para fora da esfera.
Para isso, vamos usar coordenadas esféricas e a fórmula do fluxo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot \mathbf{\hat n}\,dS.

Passo 2

Escolhemos coordenadas esféricas com raio fixo R=4. Assim a parametrização é
x=4\sin\varphi\cos\theta,\quad y=4\sin\varphi\sin\theta,\quad z=4\cos\varphi,
onde \theta\in[0,2\pi] e \varphi\in[0,\pi/4], porque o cone z = \sqrt{x^2+y^2} corresponde a \varphi=\pi/4.

Passo 3

Na esfera a normal unitária para fora é
\mathbf{\hat n}=\frac{1}{4}(x,y,z),
e o elemento de área é
dS=R^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta=16\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Calculamos o produto escalar
\mathbf{F}(x,y,z)\cdot\mathbf{\hat n} =\bigl(1,-1,z\bigr)\cdot\frac{1}{4}(x,y,z) =\frac{x - y + z^2}{4}.
Logo o fluxo é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot \mathbf{\hat n}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4} \frac{x-y+z^2}{4}\;16\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4} 4\,(x-y+z^2)\,\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Substituindo x=4\sin\varphi\cos\theta, y=4\sin\varphi\sin\theta, z=4\cos\varphi, obtemos
x-y=4\sin\varphi(\cos\theta-\sin\theta), \quad z^2=16\cos^2\varphi.
Assim o integrando vira
4\bigl[4\sin\varphi(\cos\theta-\sin\theta)+16\cos^2\varphi\bigr]\sin\varphi =16\sin^2\varphi(\cos\theta-\sin\theta)+64\cos^2\varphi\sin\varphi.

Passo 5

Separando a integral em \theta e \varphi:
\int_{0}^{2\pi}(\cos\theta-\sin\theta)\,d\theta=0,
logo sobra
\int_{0}^{2\pi}\!d\theta\;\int_{0}^{\pi/4}64\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi =2\pi\cdot64\int_{0}^{\pi/4}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Faça u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi. Então
\int_{0}^{\pi/4}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi =-\int_{1}^{\frac{\sqrt2}{2}}u^2\,du =\frac{4-\sqrt2}{12}.
Multiplicando por 2\pi\cdot64
\text{fluxo} =2\pi\cdot64\cdot\frac{4-\sqrt2}{12} =\frac{128\pi-32\sqrt2\,\pi}{3} =\frac{32\pi\,(4-\sqrt2)}{3}.

Resposta

\displaystyle x=4\sin\varphi\cos\theta,\;y=4\sin\varphi\sin\theta,\;z=4\cos\varphi,
com \varphi\in[0,\pi/4],\;\theta\in[0,2\pi].
O fluxo vale
\frac{32\pi\,(4-\sqrt2)}{3}.

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