(a) Ache uma parametrização da superfície
que fica acima do cone
.
(b) Determine o fluxo através da superfície
do item anterior para o campo
(b) Determine o fluxo através da superfície
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) parametrizar a parte da esfera que fica acima do cone
.
(b) calcular o fluxo de através dessa superfície
, assumindo a normal para fora da esfera.
Para isso, vamos usar coordenadas esféricas e a fórmula do fluxo
(a) parametrizar a parte da esfera
(b) calcular o fluxo de
Para isso, vamos usar coordenadas esféricas e a fórmula do fluxo
Passo 2
Escolhemos coordenadas esféricas com raio fixo
. Assim a parametrização é
onde
e
, porque o cone
corresponde a
.
Passo 3
Na esfera a normal unitária para fora é
e o elemento de área é
Passo 4
Calculamos o produto escalar
Logo o fluxo é
Substituindo
,
,
, obtemos
Assim o integrando vira
Passo 5
Separando a integral em
e
:
logo sobra
Faça
,
. Então
Multiplicando por
dá
Resposta
com
O fluxo vale