Enuncie c use o Teorema de Stokes para calcular a seguinte integral
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}
onde \mathbf{F}=\left(-x+2 y^{2}\right) \mathrm{i}+\left(-y+2 z^{2}\right) \mathrm{j}+\left(-z+2 x^{2}\right) \mathrm{k} e C é a curva (as arestas de um triângulo) formada pela interseçăo do plano x+y+z=2 com os planos de coordenadas x z, y z e x y, orientada no sentido anti-horario quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde
\mathbf{F} = (-x+2y^2)\,\mathbf{i} + (-y+2z^2)\,\mathbf{j} + (-z+2x^2)\,\mathbf{k},
e C é o contorno orientado anti-horário do triângulo de interseção do plano x+y+z=2 com os planos coordenados.
Conteúdo: Teorema de Stokes, que relaciona integral de linha de um campo vetorial ao fluxo de seu rotacional através de uma superfície que tem esse contorno.

Passo 2

Precisamos do rotacional de \mathbf{F}. Escrevendo \mathbf{F}=(P,Q,R), temos
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial/\partial x&\partial/\partial y&\partial/\partial z\\\ P&Q&R \end{vmatrix}.
Calculando cada componente: \displaystyle (\nabla\times\mathbf{F})_x = \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} =0-4z=-4z, \displaystyle (\nabla\times\mathbf{F})_y = \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} =0-4x=-4x, \displaystyle (\nabla\times\mathbf{F})_z = \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =0-4y=-4y.
Logo
\nabla\times\mathbf{F} = -4\,(z\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}+y\,\mathbf{k}).

Passo 3

Pela regra de Stokes:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde S é o triângulo em x+y+z=2 e \mathbf{n} é o vetor normal unitário cuja componente k é positiva (para garantir orientação compatível com a curva vista de cima).
O vetor normal não unitário ao plano é \mathbf{N}=(1,1,1), e o unitário é
\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,(1,1,1).

Passo 4

No integrando aparece
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} = -4\,(z+x+y)\,\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{4}{\sqrt{3}}\,(x+y+z).
Mas na superfície x+y+z=2 temos x+y+z=2. Então
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} = -\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot2 = -\frac{8}{\sqrt{3}}.
Logo
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -\frac{8}{\sqrt{3}}\iint_{S}dS = -\frac{8}{\sqrt{3}}\;\bigl(\text{área de }S\bigr).á

Passo 5

O triângulo tem vértices A=(2,0,0), B=(0,2,0), C=(0,0,2). Dois lados são \overrightarrow{AB}=(-2,2,0) e \overrightarrow{AC}=(-2,0,2).
A área é
\text{área}(S) =\tfrac12\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\| =\tfrac12\|(4,4,4)\| =\tfrac12\cdot4\sqrt{3} =2\sqrt{3}.á

Passo 6

Substituindo na expressão da integral:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -\frac{8}{\sqrt{3}}\times 2\sqrt{3} = -16.

Resposta

\displaystyle -16

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