Encontre a área da região delimitada pela parábola y=x^{2}-1 e pela reta y=x+1 e faça um esboço dessa região.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola y = x^{2} - 1 e pela reta y = x + 1. O conteúdo é cálculo de área entre duas curvas: vamos encontrar os pontos de interseção, determinar qual função é superior em cada intervalo e, por fim, usar uma integral definida.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos
x^{2} - 1 = x + 1
x^{2} - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
Logo, as interseções ocorrem em x = -1 e x = 2.

Passo 3

Num ponto genérico x\in[-1,2], a reta y = x + 1 está acima da parábola y = x^{2} - 1. Assim, a área pedida é
\int_{x=-1}^{2} \bigl[(x+1) - (x^{2}-1)\bigr]\,dx = \int_{-1}^{2} \bigl(-x^{2} + x + 2\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculando a integral:
\int (-x^{2} + x + 2)\,dx = -\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2x + C.
Avaliaremos de -1 a 2:
F(2) = -\frac{2^{3}}{3} + \frac{2^{2}}{2} + 2\cdot2 = -\frac{8}{3} + 2 + 4 = \frac{10}{3},
F(-1) = -\frac{(-1)^{3}}{3} + \frac{(-1)^{2}}{2} + 2\cdot(-1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 = -\frac{7}{6}.
Logo,
\text{Área} = F(2) - F(-1) = \frac{10}{3} - \Bigl(-\frac{7}{6}\Bigr) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}.Á

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{9}{2}.
Esboço da região:
  • A parábola y=x^{2}-1 tem vértice em (0,-1) e concavidade para cima.
  • A reta y=x+1 intercepta os eixos em (0,1) e tem inclinação positiva.
  • As curvas se cruzam em (-1,0) e em (2,3).
  • A região limitada é a “casquinha” entre essas intersecções, sob a reta e acima da parábola.

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