Ache as partições do grupo cíclico de ordem 10 por cada um de seus subgrupos.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as partições de G, um grupo cíclico de ordem 10, pelas classes laterais de cada um de seus subgrupos. Vamos usar a teoria de grupos cíclicos (subgrupos correspondem a divisores de 10) e a definição de coset (classe lateral) para montar cada partição.

Passo 2

Em um grupo cíclico de ordem 10 gerado por g, existe exatamente um subgrupo para cada divisor de 10. Denotemos por H_d o subgrupo de ordem d. Como os divisores de 10 são 1,2,5,10, temos
H_{1}=\<g^{10}\>=\{e\},\quad H_{2}=\<g^{5}\>=\{e,g^{5}\},\quad H_{5}=\<g^{2}\>=\{e,g^{2},g^{4},g^{6},g^{8}\},\quad H_{10}=\<g\>=G.

Passo 3

Para H_{1}=\{e\}, cada coset é um singleton de G. A partição é portanto
\{\,e\},\;\{\,g\},\;\{\,g^{2}\},\;\{\,g^{3}\},\;\{\,g^{4}\},\;\{\,g^{5}\},\;\{\,g^{6}\},\;\{\,g^{7}\},\;\{\,g^{8}\},\;\{\,g^{9}\}.

Passo 4

Para H_{2}=\{e,g^{5}\}, as classes laterais são
g^{k}H_{2}=\{\,g^{k},\,g^{k+5}\}\quad(k=0,1,2,3,4).
Logo a partição é
\{\,e,g^{5}\},\;\{\,g,g^{6}\},\;\{\,g^{2},g^{7}\},\;\{\,g^{3},g^{8}\},\;\{\,g^{4},g^{9}\}.

Passo 5

Para H_{5}=\{e,g^{2},g^{4},g^{6},g^{8}\}, há duas classes laterais:
H_{5}=\{e,g^{2},g^{4},g^{6},g^{8}\}, \quad gH_{5}=\{g,g^{3},g^{5},g^{7},g^{9}\}.

Passo 6

Para H_{10}=G, só existe o coset trivial que é o próprio grupo:
\{\,G\}.

Resposta

As partições de G por cada subgrupo são:
H_{1}=\{e\}:
\{e\},\{g\},\{g^{2}\},\{g^{3}\},\{g^{4}\},\{g^{5}\},\{g^{6}\},\{g^{7}\},\{g^{8}\},\{g^{9}\}.
H_{2}=\{e,g^{5}\}:
\{e,g^{5}\},\{g,g^{6}\},\{g^{2},g^{7}\},\{g^{3},g^{8}\},\{g^{4},g^{9}\}.
H_{5}=\{e,g^{2},g^{4},g^{6},g^{8}\}:
\{e,g^{2},g^{4},g^{6},g^{8}\},\{g,g^{3},g^{5},g^{7},g^{9}\}.
H_{10}=G:
\{G\}.

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