Defina em \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} a seguinte operação \bullet :
\left(n_{1}, m_{1}\right) \bullet\left(n_{2}, m_{2}\right)=\left(n_{1}+n_{2},(-1)^{n_{2}} m_{1}+m_{2}\right)
Mostre que ( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, \bullet ) é um grupo. Dado o elemento x nesse grupo, encontre o centralizador de x\left(C_{G}(x)\right). Lembrar que
C_{G}(x)=\{g \in G \mid g x=x g\}
Determine o número de conjugados de x (isto é, os elementos y no grupo tais que y=g^{-1} x g para algum g no grupo).

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} a operação
(n_{1},m_{1})\bullet(n_{2},m_{2})=(n_{1}+n_{2},\,(-1)^{n_{2}}m_{1}+m_{2}),
e pede (1) provar que (\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},\bullet) é grupo, (2) dado x=(a,b), encontrar seu centralizador
C_{G}(x)=\{\,g\in G\mid g\bullet x = x\bullet g\},
e (3) determinar o número de conjugados de x, isto é o tamanho da classe de conjugação \{\,g^{-1}\bullet x\bullet g\}.

Passo 2

Mostramos rapidamente que é grupo.
  1. Identidade: o elemento e=(0,0) satisfaz
(0,0)\bullet(n,m)=(n,(-1)^{n}\cdot0+m)=(n,m), \quad (n,m)\bullet(0,0)=(n,(-1)^{0}m+0)=(n,m).
  1. Inverso: para (n,m) buscamos (n',m') com
(n,m)\bullet(n',m')=(0,0)\implies n+n'=0,\; (-1)^{n'}m+m'=0.
Logo n'=-n e m'=-(-1)^{-n}m=-(-1)^{n}m. Portanto
(n,m)^{-1}=(-n,\,-(-1)^{n}m).
  1. Associatividade: segue do fato de ser produto semidireto \mathbb{Z}\rtimes\mathbb{Z} pela ação n\mapsto((-1)^{n}\cdot).

Passo 3

Para achar o centralizador de x=(a,b) tomamos g=(n,m) e impomos
g\bullet x = (n+a,\,(-1)^{a}m+b), \quad x\bullet g = (a+n,\,(-1)^{n}b+m).
Isto dá a igualdade de segundas coordenadas
(-1)^{a}m + b = (-1)^{n}b + m \;\Longleftrightarrow\; \bigl((-1)^{a}-1\bigr)m = \bigl((-1)^{n}-1\bigr)b.

Passo 4

Analisamos \delta_{k}=(-1)^{k}-1, que vale 0 se k é par e -2 se k é ímpar. Da equação \delta_{a}m=\delta_{n}b seguem três casos:
Caso 1: a par e b=0.
Então \delta_{a}=0 e \delta_{n}b=0 vale para todo n. Logo
C_{G}(x)=\{(n,m)\mid n,m\in\mathbb{Z}\}=G.
Caso 2: a par e b\neq0.
Aqui \delta_{a}=0 força \delta_{n}b=0, e como b\neq0 segue \delta_{n}=0, ou seja n par, sem restrição em m. Assim
C_{G}(x)=\{(n,m)\mid n\in2\mathbb{Z},\;m\in\mathbb{Z}\}.
Caso 3: a ímpar.
Então \delta_{a}=-2 e a equação fica -2m=\delta_{n}b.
  • Se n é par, \delta_{n}=0 m=0.
  • Se n é ímpar, \delta_{n}=-2 -2m=-2b, ou seja m=b.
    Logo
C_{G}(x)=\bigl\{(n,m)\mid \text{se \(n\) é par então }m=0,\; \text{se \(n\) é ímpar então }m=b \bigr\}.éãéíã

Passo 5

O número de conjugados de x é o índice [G:C_{G}(x)].
  • Em Caso 1 (a par, b=0) temos C_{G}(x)=G, índice 1, logo x é central.
  • Em Caso 2 (a par, b\neq0) obtemos C_{G}(x)=2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}, índice 2, logo existem dois conjugados de x.
  • Em Caso 3 ( a ímpar) o subgrupo C_{G}(x) é isomorfo a \mathbb{Z} e tem índice infinito em \mathbb{Z}^{2}, logo a classe de conjugação de x é infinita.

Resposta

Para x=(a,b) em G:
(a) Se a é par e b=0, então C_{G}(x)=G e há 1 conjugado.
(b) Se a é par e b\neq0, então C_{G}(x)=\{(n,m)\mid n\in2\mathbb{Z},\,m\in\mathbb{Z}\} e há 2 conjugados.
(c) Se a é ímpar, então
C_{G}(x)=\{(n,m)\mid n\text{ par}\Rightarrow m=0,\; n\text{ ímpar}\Rightarrow m=b \}í
e a classe de conjugação de x é infinita.

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