Defina em
a seguinte operação
:
Mostre que (
) é um grupo. Dado o elemento
nesse grupo, encontre o centralizador de
. Lembrar que
Determine o número de conjugados de
(isto é, os elementos
no grupo tais que
para algum
no grupo).
Passo 1
O enunciado define em
a operação
e pede (1) provar que
é grupo, (2) dado
, encontrar seu centralizador
e (3) determinar o número de conjugados de
, isto é o tamanho da classe de conjugação
.
Passo 2
Mostramos rapidamente que é grupo.
- Identidade: o elemento
satisfaz
- Inverso: para
buscamos com
Logo
e
. Portanto
- Associatividade: segue do fato de ser produto semidireto
pela ação .
Passo 3
Para achar o centralizador de
tomamos
e impomos
Isto dá a igualdade de segundas coordenadas
Passo 4
Analisamos
, que vale
se
é par e
se
é ímpar. Da equação
seguem três casos:
Caso 1:
par e
.
Então e
vale para todo
. Logo
Então
Caso 2:
par e
.
Aqui força
, e como
segue
, ou seja
par, sem restrição em
. Assim
Aqui
Caso 3:
ímpar.
Então e a equação fica
.
Então
- Se
é par, dá . - Se
é ímpar, dá , ou seja .
Logo
Passo 5
O número de conjugados de
é o índice
.
- Em Caso 1 (a par,
) temos , índice 1, logo é central. - Em Caso 2 (a par,
) obtemos , índice 2, logo existem dois conjugados de . - Em Caso 3 (
ímpar) o subgrupo é isomorfo a e tem índice infinito em , logo a classe de conjugação de é infinita.
Resposta
Para
em
:
(a) Se é par e
, então
e há 1 conjugado.
(b) Se é par e
, então
e há 2 conjugados.
(c) Se é ímpar, então
(a) Se
(b) Se
(c) Se
e a classe de conjugação de
é infinita.