Seja
o conjunto das funções da forma
onde
são números racionais tais que
. Uma operação o é introduzida em
da seguinte maneira: se
, então
Mostre que (
, o) é um grupo.
Passo 1
O enunciado define
e a lei de composição
onde
Queremos mostrar que
é um grupo. Para isso precisamos verificar:
- Fechamento em
. - Associatividade da operação
. - Existência de elemento neutro.
- Existência de inverso para cada elemento de
.
Passo 2
Fechamento.
Dados
Dados
com
e
,
.
Então
Então
Como somas e produtos de racionais são racionais, todos os coeficientes finais pertencem a
.
Além disso, o “determinante” do novo quádruplo é
Além disso, o “determinante” do novo quádruplo é
Logo
.
Passo 3
Associatividade.
Associatividade de segue do fato de que cada transformação
corresponde à matriz
Associatividade de
corresponde à matriz
e a composição
corresponde ao produto matricial
.
Como a multiplicação de matrizes é associativa, também é.
Como a multiplicação de matrizes é associativa,
Passo 4
Neutro.
A função identidade em é
A função identidade em
De fato, para todo
,
Passo 5
Inverso.
Dado
com
,
definimos
Dado
definimos
Verifica-se que todos os coeficientes são racionais e que
Resposta
Portanto,
satisfaz fechamento, associatividade, existência de neutro e existência de inversos, isto é, é um grupo.