Seja G o conjunto das funções da forma f(X)=\frac{a X+b}{c X+d} onde a, b, c, d são números racionais tais que a d-b c \neq 0. Uma operação o é introduzida em G da seguinte maneira: se g(X)=\frac{a_{1} X+b_{1}}{c_{1} X+d_{1}}, então
f(X) \circ g(X)=\frac{\left(a a_{1}+b c_{1}\right) X+\left(a b_{1}+b d_{1}\right)}{\left(c a_{1}+d c_{1}\right) X+\left(c b_{1}+d d_{1}\right)}
Mostre que ( G, o) é um grupo.

Passo 1

O enunciado define
\displaystyle G=\Bigl\{\,f(X)=\frac{aX+b}{cX+d}\;\Big|\;a,b,c,d\in\mathbb{Q},\;ad-bc\neq0\Bigr\}
e a lei de composição
f\circ g\;=\;\frac{(a\,a_1+b\,c_1)X+(a\,b_1+b\,d_1)}{(c\,a_1+d\,c_1)X+(c\,b_1+d\,d_1)},
onde
f(X)=\frac{aX+b}{cX+d},\quad g(X)=\frac{a_1X+b_1}{c_1X+d_1}.
Queremos mostrar que (G,\circ) é um grupo. Para isso precisamos verificar:
  1. Fechamento em G.
  2. Associatividade da operação \circ.
  3. Existência de elemento neutro.
  4. Existência de inverso para cada elemento de G.

Passo 2

Fechamento.
Dados
f(X)=\frac{aX+b}{cX+d},\quad g(X)=\frac{a_1X+b_1}{c_1X+d_1},
com a,b,c,d,a_1,b_1,c_1,d_1\in\mathbb{Q} e ad-bc\neq0, a_1d_1-b_1c_1\neq0.
Então
f\circ g(X) =\frac{(a\,a_1+b\,c_1)X+(a\,b_1+b\,d_1)}{(c\,a_1+d\,c_1)X+(c\,b_1+d\,d_1)}.
Como somas e produtos de racionais são racionais, todos os coeficientes finais pertencem a \mathbb{Q}.
Além disso, o “determinante” do novo quádruplo é
\Delta =\bigl(a\,a_1+b\,c_1\bigr)\bigl(c\,b_1+d\,d_1\bigr) -\bigl(a\,b_1+b\,d_1\bigr)\bigl(c\,a_1+d\,c_1\bigr) =(ad-bc)\,(a_1d_1-b_1c_1)\neq0.
Logo f\circ g\in G.

Passo 3

Associatividade.
Associatividade de \circ segue do fato de que cada transformação
\displaystyle f(X)=\frac{aX+b}{cX+d}
corresponde à matriz
M_f=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
e a composição f\circ g corresponde ao produto matricial M_f\,M_g.
Como a multiplicação de matrizes é associativa, \circ também é.

Passo 4

Neutro.
A função identidade em G é
e(X)=X=\frac{1\cdot X+0}{0\cdot X+1}.
De fato, para todo f\in G,
e\circ f=f\circ e=f.

Passo 5

Inverso.
Dado
\displaystyle f(X)=\frac{aX+b}{cX+d} com ad-bc\neq0,
definimos
f^{-1}(X) =\frac{d\,X - b}{-\,c\,X + a}.
Verifica-se que todos os coeficientes são racionais e que
f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=e.

Resposta

Portanto, (G,\circ) satisfaz fechamento, associatividade, existência de neutro e existência de inversos, isto é, é um grupo.

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