Seja
e
o conjunto das seguintes funções de
em
:
(i) Mostre que
, com a operação de composição de funções, é um grupo e construa a tabela de multiplicação de
.
(ii) Quem é o elemento neutro de
? Quais elementos de
são seus inversos?
(iii) Mostre que
é isomorfo a
.
(ii) Quem é o elemento neutro de
(iii) Mostre que
Passo 1
O enunciado define
e o conjunto
e o conjunto
com
Queremos (i) mostrar que
é grupo e construir sua tabela de composição; (ii) identificar o elemento neutro e os inversos em
; (iii) exibir um isomorfismo
. Vamos usar noções de bijeções, composição de funções e propriedades de grupo finito gerado por involuções e ciclo de ordem 3.
Passo 2
Cada
é bijetora de
em
, logo a composição fecha em
. A composição de funções é associativa. Observamos imediatamente que
para todo
, de modo que
é candidato a neutro. Resta ver que cada
tem inversa também em
, o que garante o axiomade inverso. Concluímos assim que
é de fato um grupo de ordem 6.
Passo 3
Para achar inversos, basta notar que vários elementos são involuções ou formam ciclo de ordem 3:
-
, , . -
.
Logo
Além disso verifica-se que
, caracterizando um ciclo de ordem 3 entre
.
Passo 4
Usando as composições indicadas (ou calculando caso a caso), obtém-se a tabela de Cayley de
. Aqui a entrada da linha
, coluna
é
:
Passo 5
Do passo 2 e do passo 3 já vimos que o elemento neutro é
e que os inversos em
são
Passo 6
Para ver
, note que
é gerado pelas involuções
e
com relações
exatamente as relações de apresentação de
. Definimos
e estendemos multiplicativamente. Como essas imagens satisfazem as mesmas relações,
é homomorfismo sobrejetor entre dois grupos de mesma ordem finita, logo é isomorfismo.
Resposta
(i)
é grupo de ordem 6, tabela mostrada acima.
(ii) Elemento neutro . Inversos:
,
,
,
,
,
.
(iii) O isomorfismo dado por
,
(e extensão multiplicativa) mostra
.
(ii) Elemento neutro
(iii) O isomorfismo