Seja X=\mathbb{R}-\{0,1\} e G o conjunto das seguintes funções de X em X :
\begin{gathered} \alpha_{1}(x)=x, \alpha_{2}(x)=\frac{1}{x}, \alpha_{3}(x)=1-x \\\ \alpha_{4}(x)=\frac{x}{x-1}, \alpha_{5}(x)=\frac{x-1}{x}, \alpha_{6}(x)=\frac{1}{1-x} \end{gathered}
(i) Mostre que G, com a operação de composição de funções, é um grupo e construa a tabela de multiplicação de G.
(ii) Quem é o elemento neutro de G ? Quais elementos de G são seus inversos?
(iii) Mostre que G é isomorfo a S_{3}.

Passo 1

O enunciado define
\displaystyle X=\mathbb{R}-\{0,1\}
e o conjunto
G=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5,\alpha_6\}
com
\alpha_{1}(x)=x, \;\alpha_{2}(x)=\frac1x, \;\alpha_{3}(x)=1-x, \;\alpha_{4}(x)=\frac{x}{x-1}, \;\alpha_{5}(x)=\frac{x-1}{x}, \;\alpha_{6}(x)=\frac1{1-x}.
Queremos (i) mostrar que (G,\circ) é grupo e construir sua tabela de composição; (ii) identificar o elemento neutro e os inversos em G; (iii) exibir um isomorfismo G\cong S_3. Vamos usar noções de bijeções, composição de funções e propriedades de grupo finito gerado por involuções e ciclo de ordem 3.

Passo 2

Cada \alpha_i é bijetora de X em X, logo a composição fecha em G. A composição de funções é associativa. Observamos imediatamente que
\alpha_1\circ\alpha_i=\alpha_i\circ\alpha_1=\alpha_i
para todo i, de modo que \alpha_1 é candidato a neutro. Resta ver que cada \alpha_i tem inversa também em G, o que garante o axiomade inverso. Concluímos assim que (G,\circ) é de fato um grupo de ordem 6.

Passo 3

Para achar inversos, basta notar que vários elementos são involuções ou formam ciclo de ordem 3:
  1. \alpha_2\circ\alpha_2=\alpha_1, \alpha_3\circ\alpha_3=\alpha_1, \alpha_4\circ\alpha_4=\alpha_1.
  2. \alpha_5\circ\alpha_6=\alpha_6\circ\alpha_5=\alpha_1.
Logo
\alpha_2^{-1}=\alpha_2,\quad \alpha_3^{-1}=\alpha_3,\quad \alpha_4^{-1}=\alpha_4,\quad \alpha_5^{-1}=\alpha_6,\quad \alpha_6^{-1}=\alpha_5.
Além disso verifica-se que
\alpha_5^2=\alpha_6,\;\alpha_6^2=\alpha_5, caracterizando um ciclo de ordem 3 entre \alpha_5,\alpha_6.

Passo 4

Usando as composições indicadas (ou calculando caso a caso), obtém-se a tabela de Cayley de G. Aqui a entrada da linha i, coluna j é \alpha_i\circ\alpha_j:
\begin{array}{c|cccccc} & \alpha_{1}&\alpha_{2}&\alpha_{3}&\alpha_{4}&\alpha_{5}&\alpha_{6}\\\ \hline \alpha_{1}&\alpha_{1}&\alpha_{2}&\alpha_{3}&\alpha_{4}&\alpha_{5}&\alpha_{6}\\\ \alpha_{2}&\alpha_{2}&\alpha_{1}&\alpha_{6}&\alpha_{5}&\alpha_{4}&\alpha_{3}\\\ \alpha_{3}&\alpha_{3}&\alpha_{5}&\alpha_{1}&\alpha_{6}&\alpha_{2}&\alpha_{4}\\\ \alpha_{4}&\alpha_{4}&\alpha_{6}&\alpha_{5}&\alpha_{1}&\alpha_{3}&\alpha_{2}\\\ \alpha_{5}&\alpha_{5}&\alpha_{3}&\alpha_{4}&\alpha_{2}&\alpha_{6}&\alpha_{1}\\\ \alpha_{6}&\alpha_{6}&\alpha_{4}&\alpha_{2}&\alpha_{3}&\alpha_{1}&\alpha_{5} \end{array}

Passo 5

Do passo 2 e do passo 3 já vimos que o elemento neutro é
\boxed{\alpha_{1}}
e que os inversos em G são
\alpha_{1}^{-1}=\alpha_{1},\; \alpha_{2}^{-1}=\alpha_{2},\; \alpha_{3}^{-1}=\alpha_{3},\; \alpha_{4}^{-1}=\alpha_{4},\; \alpha_{5}^{-1}=\alpha_{6},\; \alpha_{6}^{-1}=\alpha_{5}.

Passo 6

Para ver G\cong S_{3}, note que G é gerado pelas involuções \alpha_{2} e \alpha_{3} com relações
\alpha_{2}^{2}=\alpha_{3}^{2}=e, \quad (\alpha_{2}\alpha_{3})^{3}=e,
exatamente as relações de apresentação de S_{3}=\langle\,s,t\mid s^2=t^2=(st)^3=e\,\rangle. Definimos
\varphi\colon G\to S_{3},\quad \varphi(\alpha_{2})=(12),\;\varphi(\alpha_{3})=(23),
e estendemos multiplicativamente. Como essas imagens satisfazem as mesmas relações, \varphi é homomorfismo sobrejetor entre dois grupos de mesma ordem finita, logo é isomorfismo.

Resposta

(i) (G,\circ) é grupo de ordem 6, tabela mostrada acima.
(ii) Elemento neutro \alpha_{1}. Inversos:
\alpha_{1}^{-1}=\alpha_{1}, \alpha_{2}^{-1}=\alpha_{2}, \alpha_{3}^{-1}=\alpha_{3}, \alpha_{4}^{-1}=\alpha_{4}, \alpha_{5}^{-1}=\alpha_{6}, \alpha_{6}^{-1}=\alpha_{5}.
(iii) O isomorfismo \varphi\colon G\to S_{3} dado por \varphi(\alpha_{2})=(12), \varphi(\alpha_{3})=(23) (e extensão multiplicativa) mostra G\cong S_{3}.

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