Seja K um subconjunto do grupo G que é uma classe lateral à esquerda (ou à direita) do subgrupo H de G. Mostre que para quaisquer x, y, z \in K, vale que x y^{-1} z \in K.

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo, H é um subgrupo de G e K é uma classe lateral à esquerda (ou à direita) de H em G. Precisamos mostrar que sempre que x,y,z\in K vale
x\,y^{-1}\,z\;\in\;K.
O conteúdo usado aqui é a descrição de elementos de uma classe lateral e o fato de que H é fechada sob produto e inverso.

Passo 2

Suponha primeiro que K seja uma classe lateral à esquerda, isto é,
K = aH = \{\,a\,h : h\in H\}
para algum a\in G. Então, para x,y,z\in K existem h_1,h_2,h_3\in H tais que
x = a\,h_1,\quad y = a\,h_2,\quad z = a\,h_3.

Passo 3

Calculemos
y^{-1} = (a\,h_2)^{-1} = h_2^{-1}\,a^{-1}.
Logo
x\,y^{-1}\,z = (a\,h_1)\,(h_2^{-1}\,a^{-1})\,(a\,h_3) = a\,\bigl(h_1\,h_2^{-1}\,h_3\bigr).

Passo 4

Como H é subgrupo, temos h_1\,h_2^{-1}\,h_3\in H. Portanto
x\,y^{-1}\,z = a\,\bigl(h_1\,h_2^{-1}\,h_3\bigr) \;\in\;aH = K.

Passo 5

No caso de K ser uma classe lateral à direita, K=H\,a, bastaria escrever
x = h_1\,a,\quad y=h_2\,a,\quad z=h_3\,a,
e o cálculo é análogo:
y^{-1}=a^{-1}h_2^{-1},\quad x\,y^{-1}\,z = h_1\,a\,a^{-1}\,h_2^{-1}\,h_3\,a = \bigl(h_1\,h_2^{-1}\,h_3\bigr)\,a \in Ha = K.

Resposta

Para quaisquer x,y,z\in K vale x\,y^{-1}\,z\in K.

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