Seja
um subconjunto do grupo
que é uma classe lateral à esquerda (ou à direita) do subgrupo
de
. Mostre que para quaisquer
, vale que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo,
é um subgrupo de
e
é uma classe lateral à esquerda (ou à direita) de
em
. Precisamos mostrar que sempre que
vale
O conteúdo usado aqui é a descrição de elementos de uma classe lateral e o fato de que
é fechada sob produto e inverso.
Passo 2
Suponha primeiro que
seja uma classe lateral à esquerda, isto é,
para algum
. Então, para
existem
tais que
Passo 3
Calculemos
Logo
Passo 4
Como
é subgrupo, temos
. Portanto
Passo 5
No caso de
ser uma classe lateral à direita,
, bastaria escrever
e o cálculo é análogo:
Resposta
Para quaisquer
vale
.