Ache o plano tangente à superficie
que é paralelo ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o plano tangente à superfície definida pela equação
que seja paralela ao plano
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e planos tangentes. Vamos usar a teoria de derivadas para encontrar o plano tangente desejado.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como encontrar a equação do plano tangente a uma superfície. Se temos uma superfície
, o plano tangente nesse ponto
é dado por:
Aqui,
,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, respectivamente.
Passo 3
No nosso caso, a superfície é
. Podemos reescrever isso como
. Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Sabemos que o plano tangente precisa ser paralelo ao plano
. Planos são paralelos se seus vetores normais são múltiplos um do outro. O vetor normal do nosso plano tangente é
e o do outro plano é
. Então, temos:
onde
é um escalar que vamos determinar.
Passo 5
Isso nos dá as seguintes equações:
Como todas são iguais a
, podemos igualar
e
.
Passo 6
De
, se
, então
.
De
, se
, então
.
Então, concluímos que
.
Passo 7
Sabemos que na superfície
, substituindo
temos:
Portanto,
.
Passo 8
Agora, temos o ponto de tangência
. Vamos calcular as derivadas parciais nesse ponto:
Passo 9
Com essas derivadas, a equação do plano tangente fica:
Simplificando:
Resposta
O plano tangente à superfície
que é paralelo ao plano
é: