Ache o plano tangente à superficie x y z=1 que é paralelo ao plano 2 x+2 y+2 z+13=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o plano tangente à superfície definida pela equação xyz = 1 que seja paralela ao plano 2x + 2y + 2z + 13 = 0 . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e planos tangentes. Vamos usar a teoria de derivadas para encontrar o plano tangente desejado.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como encontrar a equação do plano tangente a uma superfície. Se temos uma superfície F(x, y, z) = 0 , o plano tangente nesse ponto (x0, y0, z0) é dado por:
Fx(x0, y0, z0)(x - x0) + Fy(x0, y0, z0)(y - y0) + Fz(x0, y0, z0)(z - z0) = 0
Aqui, Fx , Fy e Fz são as derivadas parciais de F em relação a x , y e z , respectivamente.

Passo 3

No nosso caso, a superfície é xyz = 1 . Podemos reescrever isso como F(x, y, z) = xyz - 1 = 0 . Agora, vamos calcular as derivadas parciais de F :
Fx = yz, Fy = xz, Fz = xy

Passo 4

Sabemos que o plano tangente precisa ser paralelo ao plano 2x + 2y + 2z + 13 = 0 . Planos são paralelos se seus vetores normais são múltiplos um do outro. O vetor normal do nosso plano tangente é (Fx, Fy, Fz) e o do outro plano é (2, 2, 2) . Então, temos:
(yz, xz, xy) = k(2, 2, 2)
onde k é um escalar que vamos determinar.

Passo 5

Isso nos dá as seguintes equações:
yz = 2k, xz = 2k, xy = 2k
Como todas são iguais a 2k , podemos igualar yz = xz e yz = xy .

Passo 6

De yz = xz , se z neq 0 , então y = x .
De yz = xy , se y neq 0 , então z = x .
Então, concluímos que x = y = z .

Passo 7

Sabemos que na superfície xyz = 1 , substituindo x = y = z temos:
x cdot x cdot x = x^3 = 1 implies x = 1
Portanto, x = y = z = 1 .

Passo 8

Agora, temos o ponto de tangência (1, 1, 1) . Vamos calcular as derivadas parciais nesse ponto:
Fx = yz = 1 cdot 1 = 1, Fy = xz = 1 cdot 1 = 1, Fz = xy = 1 cdot 1 = 1

Passo 9

Com essas derivadas, a equação do plano tangente fica:
1(x - 1) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0
Simplificando:
x + y + z - 3 = 0

Resposta

O plano tangente à superfície xyz = 1 que é paralelo ao plano 2x + 2y + 2z + 13 = 0 é:
x + y + z - 3 = 0

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