Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial não-homogênea de segunda ordem
com condições iniciais
e
.
O conteúdo aqui é resolver uma EDO linear de coeficientes constantes usando a solução geral (parte homogênea mais parte particular) e depois impor as condições iniciais.
O conteúdo aqui é resolver uma EDO linear de coeficientes constantes usando a solução geral (parte homogênea mais parte particular) e depois impor as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea
A equação característica é
logo
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para
Como o termo à direita é
, fazemos o ansatz
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos
e
:
Substituindo em
:
Igualamos a
:
Assim
Passo 5
A solução geral é
Impondo
:
Para
, lembrando que
temos
Impondo
:
Passo 6
Resolvendo o sistema
obtemos