Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime-y=t e^3 t, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial não-homogênea de segunda ordem
y'' - y = t,e^3t
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1.
O conteúdo aqui é resolver uma EDO linear de coeficientes constantes usando a solução geral (parte homogênea mais parte particular) e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea
yh'' - yh = 0
A equação característica é
r^2 - 1 = 0Longrightarrow r = pm 1,
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yh(t) = C,e^t + D,e^-t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para
y'' - y = t,e^3t
Como o termo à direita é t,e^3t, fazemos o ansatz
yp(t) = e^3tl(A t + Br),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos yp' e yp'':
yp'(t) = ddtl[e^3t(A t + B)r] = e^3tl(3A,t + 3B + Ar),
yp''(t) = ddtl[e^3t(3A,t + 3B + A)r] = e^3tl(9A,t + 9B +6Ar)
Substituindo em y'' - y:
yp'' - yp = e^3tl(9A,t +9B +6Ar) - e^3tl(A t + Br) = e^3tl((8A),t + (8B+6A)r)
Igualamos a t,e^3t:
8A = 1, 8B + 6A = 0 Longrightarrow A = tfrac18, B = -tfrac332
Assim
yp(t) = e^3tl(tfrac18,t - tfrac332r)

Passo 5

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C,e^t + D,e^-t + e^3tl(tfrac18,t - tfrac332r)
Impondo y(0)=0:
C + D - tfrac332 = 0 Longrightarrow C + D = tfrac332
Para y'(t), lembrando que
yp'(t) = e^3tl(tfrac38,t - tfrac532r),
temos
y'(t) = C,e^t - D,e^-t + e^3tl(tfrac38,t - tfrac532r)
Impondo y'(0)=1:
C - D - tfrac532 = 1 Longrightarrow C - D = tfrac3732

Passo 6

Resolvendo o sistema
C + D = tfrac332, C - D = tfrac3732,
obtemos
C = tfrac58, D = -tfrac1732

Resposta

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