Ache o polinomio característico, os autovalores, autovetores e autoespaços de cada uma das matrizes abaixo:
[ccc 1 & 0 & 0 -1 & 3 & 0 3 & 2 & -2 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para encontrar o polinômio característico, os autovalores, autovetores e autoespaços da matriz dada. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes, polinômios característicos e como encontrar autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz. O polinômio característico de uma matriz A é dado por det(A - lambda I) , onde lambda é um escalar (o autovalor) e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A .
Nossa matriz A é:
A = 1 & 0 & 0 -1 & 3 & 0 3 & 2 & -2
Então, A - lambda I fica:
A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 -1 & 3 - lambda & 0 3 & 2 & -2 - lambda

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz A - lambda I :
det(A - lambda I) = 1 - lambda & 0 & 0 -1 & 3 - lambda & 0 3 & 2 & -2 - lambda
Como a matriz é triangular (a partir da segunda coluna, apenas zeros acima da diagonal principal), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(3 - lambda)(-2 - lambda)
Expandindo isso, teremos o polinômio característico:
(1 - lambda)(3 - lambda)(-2 - lambda)
Podemos deixar assim, pois é uma forma fatorada que facilita encontrar os autovalores.

Passo 4

Os autovalores são os valores de lambda que tornam o determinante zero, ou seja, as raízes do polinômio característico. Observando o polinômio fatorado:
(1 - lambda)(3 - lambda)(-2 - lambda) = 0
As soluções são:
1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1
3 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 3
-2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = -2
Então, os autovalores são lambda1 = 1 , lambda2 = 3 e lambda3 = -2 .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Para cada [\lambda), resolvemos o sistema , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: (-x + 2y = 0 \Rightarrow x = 2y]
Substituindo na terceira equação:
Então, os autovetores são múltiplos de [y):
Podemos multiplicar por 3 para simplificar:
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (-2x = 0 \Rightarrow x = 0]
Da segunda equação: [-x = 0 \Rightarrow x = 0) (confirmação)
Substituindo em terceira equação:
Então, os autovetores são múltiplos de :
Podemos multiplicar por 2 para simplificar:
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (3x = 0 \Rightarrow x = 0]
Da segunda equação:
Da terceira equação: , que já é satisfeita com
Logo, pode ser qualquer valor. Então, os autovetores são múltiplos de:

Resposta

  • Polinômio característico:
(1 - lambda)(3 - lambda)(-2 - lambda)
  • Autovalores:
lambda1 = 1, lambda2 = 3, lambda3 = -2
  • Autovetores:
    • Para lambda = 1 :
v = y 6 3 8 , y in R
  • Para lambda = 3 :
v = z 0 5 2 , z in R
  • Para lambda = -2 :
v = z 0 0 1 , z in R
  • Autoespaços:
    • Para lambda = 1 :
E1 = Esp 6 3 8
  • Para lambda = 3 :
E2 = Esp 0 5 2
  • Para lambda = -2 :
E3 = Esp 0 0 1

Exercícios relacionados