Ache o polinomio característico, os autovalores, autovetores e autoespaços de cada uma das matrizes abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para encontrar o polinômio característico, os autovalores, autovetores e autoespaços da matriz dada. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes, polinômios característicos e como encontrar autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz. O polinômio característico de uma matriz A é dado por det(A - lambda I) , onde lambda é um escalar (o autovalor) e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A .
Como a matriz é triangular (a partir da segunda coluna, apenas zeros acima da diagonal principal), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Expandindo isso, teremos o polinômio característico:
(1 - lambda)(3 - lambda)(-2 - lambda)
Podemos deixar assim, pois é uma forma fatorada que facilita encontrar os autovalores.
Passo 4
Os autovalores são os valores de lambda que tornam o determinante zero, ou seja, as raízes do polinômio característico. Observando o polinômio fatorado:
(1 - lambda)(3 - lambda)(-2 - lambda) = 0
As soluções são:
1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1
3 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 3
-2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = -2
Então, os autovalores são lambda1 = 1 , lambda2 = 3 e lambda3 = -2 .
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Para cada [\lambda), resolvemos o sistema , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: (-x + 2y = 0 \Rightarrow x = 2y]
Substituindo na terceira equação:
Então, os autovetores são múltiplos de [y):
Podemos multiplicar por 3 para simplificar:
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (-2x = 0 \Rightarrow x = 0]
Da segunda equação: [-x = 0 \Rightarrow x = 0) (confirmação)
Substituindo em terceira equação:
Então, os autovetores são múltiplos de :
Podemos multiplicar por 2 para simplificar:
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (3x = 0 \Rightarrow x = 0]
Da segunda equação:
Da terceira equação: , que já é satisfeita com
Logo, pode ser qualquer valor. Então, os autovetores são múltiplos de: