Ache o polinomio característico, os autovalores, autovetores e autoespaços de cada uma das matrizes abaixo:
[cc1 & -1 2 & 4]

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o polinômio característico, os autovalores, autovetores e autoespaços da matriz
A = 1 & -1 [0.3em] 2 & 4
Esse conteúdo usa como base o cálculo de determinantes para achar o polinômio característico chiA(lambda), depois resolver chiA(lambda)=0 para obter os autovalores, e em seguida resolver (A-lambda I)v=0 para achar autovetores e autoespaços.]

Passo 2

Calculamos o determinante de A-lambda I:
chiA(lambda)=detl(A-lambda Ir) =1-lambda & -1 [0.3em] 2 & 4-lambda =(1-lambda)(4-lambda)-(-1)cdot2 =lambda^2-5lambda+6 ]

Passo 3

Resolvemos a equação chiA(lambda)=0:
lambda^2-5lambda+6=0 Longrightarrow lambda=5pmraiz25-242 =5pm12,
daí os autovalores são lambda1=2 e lambda2=3.

Passo 4

Para cada autovalor resolvemos (A-lambda I)v=0:
  • Para lambda1=2:
A-2I=-1 & -1 [0.3em] 2 & 2 ;Longrightarrow; -x - y = 0 ;Longrightarrow; y=-x
Logo os autovetores são v=(t,-t), i.e.\ gerados por (1,-1)^T, e o autoespaço é
E2 = span(1,-1)^T
  • Para lambda2=3:
A-3I=-2 & -1 [0.3em] 2 & 1 ;Longrightarrow; -2x - y = 0 ;Longrightarrow; y=-2x
Assim os autovetores são v=(t,-2t), i.e.\ gerados por (1,-2)^T, e o autoespaço é
E3 = span(1,-2)^T ]

Resposta

chiA(lambda)=lambda^2-5lambda+6.
Autovalores: lambda1=2, lambda2=3.
Para lambda1=2: autovetor gerador (1,-1)^T, autoespaço E2=span(1,-1)^T.
Para lambda2=3: autovetor gerador (1,-2)^T, autoespaço E3=span(1,-2)^T.

Exercícios relacionados