Seja . Determine o valor de x para que A seja uma matriz simétrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos deu uma matriz A = 1 & x^2+9 -6x & 2 e pediu para encontrarmos o valor de x que faz essa matriz ser simétrica. Isso está ligado ao estudo de matrizes simétricas na álgebra linear. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica e aplicar isso na matriz dada para encontrar o valor de x .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz A é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, A = A^T . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a transposta da matriz A . A matriz A é:
A = 1 & x^2+9 -6x & 2
Sua transposta A^T será:
A^T = 1 & -6x x^2+9 & 2
Passo 4
Para que [A) seja simétrica, temos que . Vamos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes:
Observe que as equações já são verdadeiras para qualquer valor de . Portanto, a única equação que precisamos resolver é:
Passo 5
Vamos resolver a equação x^2 + 9 = -6x . Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
x^2 + 6x + 9 = 0
Agora, temos uma equação quadrática na forma ax^2 + bx + c = 0 .
Passo 6
Para resolver a equação quadrática x^2 + 6x + 9 = 0 , podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1 , b = 6 e c = 9 .
Passo 7
Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 times 1 times 9 = 36 - 36 = 0
Como o discriminante é zero, há uma única solução real repetida:
x = -6 pm raiz02 times 1 = -62 = -3
Resposta
O valor de x que faz a matriz A ser simétrica é x = -3 .