Determine a distancia do ponio P(1,2,2) ao plano determinado pelos pontos A(-1,0,0), B(1,0,1) e C(-2,3,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância do ponto P(1,2,2) até o plano definido pelos pontos A(-1,0,0) , B(1,0,1) e C(-2,3,0) . Isso está relacionado à geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver, vamos usar vetores, produto vetorial e a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano. Podemos usar os pontos A , B e C para isso. Vamos calcular os vetores AB e AC .
O vetor AB é dado por:
AB = B - A = (1 - (-1), 0 - 0, 1 - 0) = (2, 0, 1)
O vetor AC é dado por:
AC = C - A = (-2 - (-1), 3 - 0, 0 - 0) = (-1, 3, 0)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor que seja perpendicular ao plano. Para isso, usamos o produto vetorial entre AB e AC .
O produto vetorial n = AB times AC é calculado da seguinte forma:
n = i & j & k 2 & 0 & 1 -1 & 3 & 0 = i(0 cdot 0 - 1 cdot 3) - j(2 cdot 0 - 1 cdot (-1)) + k(2 cdot 3 - 0 cdot (-1)) = (-3, 1, 6)
Então, o vetor normal ao plano é n = (-3, 1, 6) .

Passo 4

Com o vetor normal n e um ponto no plano, podemos escrever a equação geral do plano. A equação de um plano com vetor normal n = (a, b, c) que passa pelo ponto A(x0, y0, z0) é:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Substituindo os valores:
-3(x - (-1)) + 1(y - 0) + 6(z - 0) = 0 -3(x + 1) + y + 6z = 0 -3x - 3 + y + 6z = 0 -3x + y + 6z = 3
Então, a equação do plano é:
-3x + y + 6z = 3

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da distância de um ponto (xp, yp, zp) a um plano ax + by + cz + d = 0 :
Distância = |a xp + b yp + c zp + d|raiza^2 + b^2 + c^2 â
No nosso caso, a equação do plano é -3x + y + 6z - 3 = 0 , então a = -3 , b = 1 , c = 6 , e d = -3 . O ponto é P(1,2,2) .

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Distância = |-3 cdot 1 + 1 cdot 2 + 6 cdot 2 - 3|raiz(-3)^2 + 1^2 + 6^2 = |-3 + 2 + 12 - 3|raiz9 + 1 + 36 = |8|raiz46 = 8raiz46 approx 1,177 â

Resposta

A distância do ponto P(1,2,2) ao plano é aproximadamente 1,177 unidades.

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