Vcrifique se os conjuntos a seguir são subespaços vetoriais dos espaços indicados.
com .

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = la & b[6pt]c & d:a,b,c,dinR e b=cr
como subconjunto do espaço de matrizes (embora cite M3times2, perceba que os elementos são 2times2, logo Vsubset M2times2(R)). Para verificar se V é subespaço vetorial, precisamos checar três propriedades:
1. Não ser vazio (conter o vetor zero).
2. Fechamento sob adição.
3. Fechamento sob multiplicação escalar.]

Passo 2

Mostramos que V não é vazio exibindo a matriz zero:
0 = 0 & 0[6pt]0 & 0
Aqui b=0 e c=0, logo b=c, portanto 0in V.]

Passo 3

Fechamento por adição: sejam
M = a & b[4pt]b & d, N = a' & b'[4pt]b' & d'
do conjunto V. Então
M+N = a+a' & b+b'[4pt]b+b' & d+d'
Como as entradas acima da diagonal são iguais às abaixo (isto é, b+b'=b+b'), concluímos que M+Nin V.]

Passo 4

Fechamento por escalar: seja lambdainR e
M = a & b[4pt]b & din V
Então
lambda M = lambda a & lambda b[4pt]lambda b & lambda d
Aqui novamente as entradas fora da diagonal satisfazem lambda b = lambda b, logo lambda Min V.]

Resposta

V satisfaz as três propriedades de subespaço vetorial e, portanto, é subespaço de M2times2(R).

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