Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[6pt] 1 & 1\end{pmatrix}
encontrar (a) o polinômio característico, (b) os autovalores e (c) os autovetores. Vamos usar o determinante de A - \lambda I para achar o polinômio característico e, em seguida, resolver para \lambda e os vetores próprios.]

Passo 2

Montamos o polinômio característico por
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)^2 - 1.
Expandindo,
(1-\lambda)^2 - 1 = 1 - 2\lambda + \lambda^2 - 1 = \lambda^2 - 2\lambda.
Logo, o polinômio característico é
\lambda^2 - 2\lambda = 0.]

Passo 3

Para encontrar os autovalores, resolvemos
\lambda^2 - 2\lambda = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda(\lambda - 2) = 0.
Assim, os autovalores são
\lambda_1 = 0 \quad\text{e}\quad \lambda_2 = 2.

Passo 4

Agora achamos os autovetores associados a cada valor de \lambda.
Para \lambda_2 = 2, resolvemos
(A - 2I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\[3pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem -x + y = 0, ou seja y = x. Um autovetor correspondente é
v_2 = \begin{pmatrix}1 \\[3pt] 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_1 = 0, resolvemos
A\,v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\[3pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira equação x + y = 0, ou seja y = -x. Um autovetor correspondente é
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\[3pt] -1\end{pmatrix}.]

Resposta

O polinômio característico é
\lambda^2 - 2\lambda = 0.
Os autovalores são
\lambda_1 = 0,\quad \lambda_2 = 2.
Um conjunto de autovetores é
\text{para }\lambda_1=0:\quad \begin{pmatrix}1 \\\\ -1\end{pmatrix}, \qquad \text{para }\lambda_2=2:\quad \begin{pmatrix}1 \\\\ 1\end{pmatrix}.

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