Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
\left[\begin{array}{rrr}2 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo é o cálculo de autovalores e autovetores via o determinante de A - \lambda I. Vamos primeiro montar A - \lambda I e calcular \det(A - \lambda I).

Passo 2

Formamos
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 2 & 3\\\\ 1 & 2-\lambda & 1\\\\ 2 & -2 & 1-\lambda \end{pmatrix}
e calculamos
\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 2 & 3\\\\ 1 & 2-\lambda & 1\\\\ 2 & -2 & 1-\lambda \end{vmatrix}.
Expandindo pela primeira linha e coletando termos, chega-se a
\det(A - \lambda I) = -\lambda^3 +5\lambda^2 -2\lambda -8
ou seja, multiplicando por -1,
p(\lambda) = \lambda^3 -5\lambda^2 +2\lambda +8.

Passo 3

Para achar os autovalores, resolvemos p(\lambda)=0. Testando raízes inteiras, \lambda=2 anula o polinômio. Fazendo divisão sintética de p(\lambda) por \lambda-2, obtemos o quociente \lambda^2 -3\lambda -4, que fatoriza como (\lambda-4)(\lambda+1).
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 2,\quad \lambda_2 = 4,\quad \lambda_3 = -1.

Passo 4

Para \lambda_1 = 2, resolvemos
(A - 2I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 2 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Das equações vem x + z = 0 e 2y + 3z = 0. Escolhendo z=2, obtemos x=-2 e y=-3. Um autovetor associado é
v_1 = \begin{pmatrix}-2\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_2 = 4, montamos
(A - 4I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} -2 & 2 & 3\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 2 & -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = 0.
Das equações segue x = 2y - z e -2(2y - z) +2y +3z=0, o que leva a y=\tfrac52 z e x=4z. Tomando z=2, temos
v_2 = \begin{pmatrix}8\\\ 5\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 6

Para \lambda_3 = -1, analisamos
(A + I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 3 & 2 & 3\\\\ 1 & 3 & 1\\\\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = 0.
As equações dão x = y - z e x +3y + z = 0, de onde y=0 e x=-z. Escolhendo z=1, um autovetor é
v_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

O polinômio característico é
p(\lambda) = \lambda^3 -5\lambda^2 +2\lambda +8.
Os autovalores e autovetores correspondentes são:
\lambda_1 = 2,\quad v_1 = \begin{pmatrix}-2\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix}; \quad \lambda_2 = 4,\quad v_2 = \begin{pmatrix}8\\\ 5\\\ 2\end{pmatrix}; \quad \lambda_3 = -1,\quad v_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados