Considere o vetor U_{1}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right).
(a) Escolha U_{2} de forma que \mathcal{S}=\left\{U_{1}, U_{2}\right\} seja base ortonormal do \mathbb{R}^{2}. Mostre que \mathcal{S} é base.
(b) Considere P=(\sqrt{3}, 3). Escreva P como combinação linear dos elementos de \mathcal{S}.
(c) Determine [P]_{\{O, \mathcal{S}\}}, as coordenadas de P em relação ao sistema de coordenadas determinado pela origem O e pela base \mathcal{S}.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  1. Escolher U_{2} de modo que \mathcal{S}=\{U_{1},U_{2}\} seja base ortonormal de \mathbb{R}^2.
  2. Mostrar que \mathcal{S} é base.
  3. Escrever P=(\sqrt{3},3) como combinação linear de \mathcal{S}.
  4. Determinar as coordenadas [P]_{\{O,\mathcal{S}\}}.
    Vamos usar produto interno, ortogonalidade, norma em \mathbb{R}^2 e a propriedade de bases ortonormais.

Passo 2

Construção de U_{2}:
Como \,U_{1}=(\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}2), um vetor perpendicular de mesma norma é
U_{2} = \bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}2,\;\tfrac12\bigr).
Verificamos
U_{1}\!\cdot U_{2} = \tfrac12\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}2\bigr) + \tfrac{\sqrt{3}}2\cdot\tfrac12 = -\tfrac{\sqrt{3}}4 + \tfrac{\sqrt{3}}4 = 0
e
\|U_{2}\| =\sqrt{\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}2\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}} =\sqrt{\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{4}}=1.
Logo U_{2} é unitário e ortogonal a U_{1}.

Passo 3

Em \mathbb{R}^2, dois vetores unitários e mutuamente ortogonais são linearmente independentes e, por terem dimensão 2, formam base. Assim \mathcal{S}=\{U_{1},U_{2}\} é uma base ortonormal de \mathbb{R}^2.

Passo 4

Decomposição de P: em base ortonormal os coeficientes são produtos internos. Definimos
a = P\!\cdot U_{1},\quad b = P\!\cdot U_{2}.
Calculamos
a = (\sqrt{3},3)\cdot\bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}2\bigr) = \sqrt{3}\,\tfrac12 + 3\,\tfrac{\sqrt{3}}2 = \tfrac{\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{2} =2\sqrt{3},
b = (\sqrt{3},3)\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}2,\tfrac12\bigr) = \sqrt{3}\,\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}2\bigr) + 3\,\tfrac12 = -\tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{2} =0.
Logo
P = 2\sqrt{3}\,U_{1} + 0\cdot U_{2}.

Passo 5

As coordenadas de P no sistema (O,\mathcal{S}) são os coeficientes (a,b). Assim
[P]_{\{O,\mathcal{S}\}} = \bigl(2\sqrt{3},\,0\bigr).

Resposta

(a) U_{2}=\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}2,\tfrac12\bigr), e \mathcal{S} é base por ser ortonormal em \mathbb{R}^2.
(b) P=2\sqrt{3}\,U_{1}+0\,U_{2}.
(c) [P]_{\{O,\mathcal{S}\}}=(2\sqrt{3},0).

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