Considere o vetor
.
(a) Escolha
de forma que
seja base ortonormal do
. Mostre que
é base.
(b) Considere
. Escreva
como combinação linear dos elementos de
.
(c) Determine
, as coordenadas de
em relação ao sistema de coordenadas determinado pela origem
e pela base
.
(a) Escolha
(b) Considere
(c) Determine
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
- Escolher
de modo que seja base ortonormal de . - Mostrar que
é base. - Escrever
como combinação linear de . - Determinar as coordenadas
.
Vamos usar produto interno, ortogonalidade, norma eme a propriedade de bases ortonormais.
Passo 2
Construção de
:
Como , um vetor perpendicular de mesma norma é
Como
Verificamos
e
Logo
é unitário e ortogonal a
.
Passo 3
Em
, dois vetores unitários e mutuamente ortogonais são linearmente independentes e, por terem dimensão 2, formam base. Assim
é uma base ortonormal de
.
Passo 4
Decomposição de
: em base ortonormal os coeficientes são produtos internos. Definimos
Calculamos
Logo
Passo 5
As coordenadas de
no sistema
são os coeficientes
. Assim
Resposta
(a)
, e
é base por ser ortonormal em
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)