Considere o plano \pi: 3 x-\sqrt{3} y+2 z=0.
(a) Determine uma base ortonormal para o plano em que o primeiro vetor esteja no plano x y.
(b) Complete a base encontrada para se obter uma base ortonormal \left\{U_{1}, U_{2}, U_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3}.
(c) Determine as coordenadas dos vetores \vec{i}, \vec{j} e \vec{k} no sistema \left\{O, U_{1}, U_{2}, U_{3}\right\}.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para o plano
\pi:3x - \sqrt{3}\,y + 2z = 0.
(a) encontrar uma base ortonormal de \pi cujo primeiro vetor esteja em z=0,
(b) completar essa base a uma base ortonormal de \mathbb{R}^3,
(c) expressar os vetores \vec{i},\vec{j},\vec{k} nas coordenadas desse novo sistema ortonormal.
Vamos usar conceitos de vetor normal ao plano, produto vetorial e projeções via produto interno.
Passo 2
Para achar o primeiro vetor de uma base ortonormal de \pi contido no plano z=0, note que em z=0 a equação de \pi vira
3x - \sqrt{3}\,y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = \sqrt{3}\,x.
Um vetor direção é (1,\sqrt{3},0). Seu comprimento é
Para achar as coordenadas de \vec{i}=(1,0,0), \vec{j}=(0,1,0), \vec{k}=(0,0,1) no sistema \{U_1,U_2,U_3\}, basta projetar cada um em U_1,U_2,U_3 (produto interno).
Coordenadas de \vec{i}: \bigl(\vec{i}\cdot U_1,\;\vec{i}\cdot U_2,\;\vec{i}\cdot U_3\bigr)
=\bigl(\tfrac12,\;-\tfrac{\sqrt{3}}4,\;\tfrac34\bigr).
Coordenadas de \vec{j}: \bigl(\vec{j}\cdot U_1,\;\vec{j}\cdot U_2,\;\vec{j}\cdot U_3\bigr)
=\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}2,\;\tfrac14,\;-\tfrac{\sqrt{3}}4\bigr).
Coordenadas de \vec{k}: \bigl(\vec{k}\cdot U_1,\;\vec{k}\cdot U_2,\;\vec{k}\cdot U_3\bigr)
=\bigl(0,\;\tfrac{\sqrt{3}}2,\;\tfrac12\bigr).