Considere o plano \pi: 3 x-\sqrt{3} y+2 z=0.
(a) Determine uma base ortonormal para o plano em que o primeiro vetor esteja no plano x y.
(b) Complete a base encontrada para se obter uma base ortonormal \left\{U_{1}, U_{2}, U_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3}.
(c) Determine as coordenadas dos vetores \vec{i}, \vec{j} e \vec{k} no sistema \left\{O, U_{1}, U_{2}, U_{3}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o plano
\pi:3x - \sqrt{3}\,y + 2z = 0.
(a) encontrar uma base ortonormal de \pi cujo primeiro vetor esteja em z=0,
(b) completar essa base a uma base ortonormal de \mathbb{R}^3,
(c) expressar os vetores \vec{i},\vec{j},\vec{k} nas coordenadas desse novo sistema ortonormal.
Vamos usar conceitos de vetor normal ao plano, produto vetorial e projeções via produto interno.

Passo 2

Para achar o primeiro vetor de uma base ortonormal de \pi contido no plano z=0, note que em z=0 a equação de \pi vira
3x - \sqrt{3}\,y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = \sqrt{3}\,x.
Um vetor direção é (1,\sqrt{3},0). Seu comprimento é
\big\|(1,\sqrt{3},0)\big\| =\sqrt{1 + 3 + 0} =2,
logo o vetor unitário é
U_1 = \Bigl(\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt{3}}2,\;0\Bigr).

Passo 3

O vetor normal ao plano é
n = (3,\,-\sqrt{3},\,2).
Para obter o segundo vetor U_2 ortonormal a U_1 e ainda em \pi, fazemos
v = n \times U_1.
Calculando o produto vetorial:
n \times U_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 3 & -\sqrt{3} & 2\\\ \tfrac12 & \tfrac{\sqrt{3}}2 & 0 \end{vmatrix} = \bigl(-\sqrt{3},\;1,\;2\sqrt{3}\bigr).
O comprimento de v é
\|v\|=\sqrt{(\!-\sqrt{3})^2 + 1^2 + (2\sqrt{3})^2} =\sqrt{3 + 1 + 12} =4.
Dividindo por 4, vem
U_2 = \Bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}4,\;\tfrac14,\;\tfrac{\sqrt{3}}2\Bigr).

Passo 4

O terceiro vetor da base ortonormal completa de \mathbb{R}^3 é simplesmente o normal unitário:
U_3 = \frac{n}{\|n\|} = \Bigl(\tfrac34,\;-\tfrac{\sqrt{3}}4,\;\tfrac12\Bigr).

Passo 5

Para achar as coordenadas de \vec{i}=(1,0,0), \vec{j}=(0,1,0), \vec{k}=(0,0,1) no sistema \{U_1,U_2,U_3\}, basta projetar cada um em U_1,U_2,U_3 (produto interno).
  • Coordenadas de \vec{i}: \bigl(\vec{i}\cdot U_1,\;\vec{i}\cdot U_2,\;\vec{i}\cdot U_3\bigr) =\bigl(\tfrac12,\;-\tfrac{\sqrt{3}}4,\;\tfrac34\bigr).
  • Coordenadas de \vec{j}: \bigl(\vec{j}\cdot U_1,\;\vec{j}\cdot U_2,\;\vec{j}\cdot U_3\bigr) =\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}2,\;\tfrac14,\;-\tfrac{\sqrt{3}}4\bigr).
  • Coordenadas de \vec{k}: \bigl(\vec{k}\cdot U_1,\;\vec{k}\cdot U_2,\;\vec{k}\cdot U_3\bigr) =\bigl(0,\;\tfrac{\sqrt{3}}2,\;\tfrac12\bigr).

Resposta

(a) U_1=(\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}2,0), \;U_2=(-\tfrac{\sqrt{3}}4,\tfrac14,\tfrac{\sqrt{3}}2).
(b) U_3=(\tfrac34,-\tfrac{\sqrt{3}}4,\tfrac12).
(c) \displaystyle [\vec{i}] = \bigl(\tfrac12,\,-\tfrac{\sqrt{3}}4,\;\tfrac34\bigr), \displaystyle [\vec{j}] = \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}2,\;\tfrac14,\,-\tfrac{\sqrt{3}}4\bigr), \displaystyle [\vec{k}] = \bigl(0,\;\tfrac{\sqrt{3}}2,\;\tfrac12\bigr).

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